勒让德多项式的应用

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1、勒让德多项式的应用一函数按勒让德多项式展开按照斯图姆—刘维尔固有值理论，勒让德多项式Pxn()组成区间[-1,1]上的完备正交函数系(其构成了基),对于定义在区间[-1,1]上具有一阶连续导数且分段连续的二阶导数的函数f(x)，就可按这个固有函数系展开成绝对且一致收敛的级数（称为傅里叶—勒让德级数）：fx()cPxnn(),(1x1),(4.1)n0其中系数cn为12n1cnf(x)Pn(x)dx,21第五章勒让德多项式的应用2若令xcos，则f(cos)cPnn(cos),(0)(4.2)n0而系数cn为

2、2n1cf(cos)(cos)sinPd.nn20第五章勒让德多项式的应用3例一、将函数f(x)x在区间[-1,1]上展开成傅里叶—勒让德级数。12n1cnf(x)Pn(x)dx,21解:由于f(x)x是偶函数，而P2n1(x)为奇函数，因此有12(2n1)1cxP(x)dx0,(n0,1,2,)2n122n11111又cxdx,0221第五章勒让德多项式的应用412n1cnf(x)Pn(x)dx,21114n1c2nxP2n(x)dx(4n1)xP2n(x)dx21012

3、nxd22n(4n1)(x1)dx2n2n2(2n)!dx02n1x112n14n1d22nd22n2nx2n1x12n1x1dx22!ndxx00dx第五章勒让德多项式的应用52n2x12n24n1d22n4n1d22nc2n2n2n2x12n2n2x122!ndxx022!ndxx02n2n2k2nk2kx1C2n(1)xk02n22n4n1dk2nk2k2n2n2[C2n1

4、x]x022!ndxk0若2k2n2,则求导后变为零.若2k2n2,则代入x=0后变为零.所以只需计算2k2n2.2n2d22nn1n12n2x11C2n(2n2)!dxx0第五章勒让德多项式的应用6n14n1n1c2n12nC2n(2n2)!22!nn1(4n1)(2n2)!1,2n2n1!(n1)!因此，n1114n12n2!x2nP2n(x),(1x1)22n1!n1!n1第五章勒让德多项式的应用7二勒

5、让德多项式的应用:介电常数0例二、设在单位球的北极放置4单位的正电荷0(如图4.1)则在球内一点M(r,,)处的静电势11Ud212rcosr它应满足拉普拉斯方程且由于U与无关，它是轴对称的，由第一节所述，应有nn1UAnrBnrPn(cos)n0由于电势在原点应为有限值，所以有第五章勒让德多项式的应用8图4.1单位球内的电位第五章勒让德多项式的应用9B0,(n0,1,2,),n11n即有UArPnn(cos).d12cosrr2n0系数A可根据勒让德多项式的正交性质来进行计算.n这

6、里可以采取一个简便办法，在等式两边令0得到：1nnArPnn(1)Arn,1rn0n012n当r<1时，1rrr1r第五章勒让德多项式的应用10n比较这两等式中r前的系数，得A1,(n0,1,2,),n1n故有rPn(cos),212cosrrn0或令xcos,则1nUPxtn().212txtn0第五章勒让德多项式的应用1111附：证明Ud12rcosr2满足拉普拉斯方程:212u1u1uu(r)(sin)022222rrrrsin

7、rsin222uucosuu或者r2r022rrsin令2d12cosrr3u22cosr则(cosr)(12cosrr)=3rd第五章勒让德多项式的应用1223522u22222d3(cosr)(12cosrr)3(cosr)(12cosrr)=25rd2222ursinudrcos3rsin325dd222uucosuur2r22rrsin2222222dr3(cosrr)(c

8、osr)rcosdrcos3rsin2r5