第六章. 勒让德函数

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1、第6章勒让德函数6.1勒让德方程与勒让德多项式一、线性常微分方程的级数解法主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。1.级数解法的基本思想：把方程的解表示为以z0为中心、带有待定系数的幂级数，将这个幂级数带入方程及定解条件，求出所有待定系数即可得该方程的解。说明：(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。(2)对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解法要选定某个点z作展开中心，得到的解是以z00为中心的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有意义。2.方程的常点和奇点方程的标准形式

2、：wz''()+pzwzqzwz()'()()()0(1)+=其中：w(z)—未知的复变函数，p(z)、q(z)—已知的复变函数(方程的系数)要求解的问题：在一定条件下(如初始条件)w(z0)=c0,w'(z0)=c1满足(1)的w(z)。方程(1)的解的性质(解的存在性、唯一性、稳定性、单值性等)由方程的系数p(z)和q(z)的解析性确定。设p(z)和q(z)在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，是z的单值解析函数。区域中的点可分为两类：(i)方程的常点：如果p(z)和q(z)都在点z0的邻域解析，则z0称为方程的常点。(ii)方程的奇点：

3、只要两系数p(z)和q(z)之一在点z不0解析，z就称为方程的奇点。0如果z最多是p(z)的一阶极点、q(z)的二阶极点，0则z0称为方程的正则奇点。否则，则z0称为方程的非正则奇点。3.常点邻域的级数解可以证明：在常点z的邻域zzR−<内，方程(1)00有唯一满足初始条件(wz()00=Cwz'()01=CC0,C1：任意常数)的幂级数解。解的具体形式：∞kwz()=−∑Czzk(0)k=0例：求厄米特方程w''−2zw'+λw=0在z0邻域内的解。解：1.级数解的形式由于p(z)=−2z,q(z)=λ，在z=0解析⇒z是方程00的常点。

4、级数解具有以下形式：∞kwz()=∑Czk(c0,c1：任意常数)k=02.将级数解代入方程，求待定系数。∞∞∞kk−−21k∑∑Ckkkk(1−)z−+2zCkzλ∑Czk=0(1)kk==00k=0为比较同次幂的系数，对上式作变换：∞∞kk−22−∑∑Ckkkk(1−=)zCkk(1−)zkk==02令kk=+'2k'0,1=,"∞∞∞∞kk−2'k∑∑kk(1−=)Czkkk('2k+)('1k+=)Cz'2++∑(2k+)(1k+)Cz2kk==2'0k=0∞k⇒++−+=∑[](2kkCk)(1)kk+22CCλkz0k=0由于上

5、式在z0的邻域内成立，即是z的一个恒等式，故z的同次幂的系数为0，则(2kkCkC+)(1+−)(2)0−=λkk+22k−λ⇒=CCkk+2(2kk++)(1)——待定系数的递推关系由上式可见，偶次幂与奇次幂项互不相干，可分别用CC01,表示。2(2kkk−−2)λ4−−4λλλ4−−42(2k−−−22)CCC===C22kkk−22−−22k2−22(kk21−−−)2(kk21)2(kk21)(22k−)(212k−−)(4kk−−4λ)(4−−8λλ)"(4−−)(λ)=C0(2)!k同理：(4kk−2−−λ)(46−−−λλ)"

6、(6)(2λ)CC=21k+1(2k+1)!1.线性无关的解：∞∞2k21k+wz02()=∑Czkwz12()=∑Czk+1k=0k=0w(z),w(z)都是方程的解，但线性无关。方程的通解是w(z)与010w(z)的线性组合。14.正则奇点邻域的级数解补充：关于指数方程的来源。定理1.如果z0是方程wp''+wq'+=w0的奇点，则在p(z)和q(z)都解析的环状区域0

7、或wzgwzzz()(=−)ln()+()zz−ρ2∑Dzz()−k2100k0(3)k=−∞其中：ρ,ρ,g,c,d(k=0,±1,±2")是常数12kk可以看到，在z是方程的奇点的情形下，如果ρ或者ρ012不是整数，或者g≠0，方程都有多值函数解。ρ,ρ,g,c,d显然，把解(1)，(2)或(3)代入方程中去确定12kk时，会发现所得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。但在一定条件下，会出现(1)，(2)或(3)式中级数没有负幂项的情形，这样的解称为正则解。关于正则解，有如下定理：定理2.方程w''+pw'+qw=0在它的奇点z0的邻域

8、0