数学物理方法 第六章勒让德函数.ppt

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1、第二篇特殊函数与狄拉克d函数本篇介绍勒让德(Legendre)函数，贝塞尔(Bessel)函数;狄拉克(Dirac)d函数的来源、定义和性质第6章勒让德函数本章首先求出勒让德方程和关联勒让德方程的有界解(称为相应方程的本征函数)，进而给出它们的微分表达式，积分表达式，母函数，递推公式，正交性、正交归一关系式与完备性等．§6.1勒让德方程与勒让德多项式本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程的级数解法，随后求出勒让德方程的通解，舍去不符合有界性条件的特解，最后规定最高次幂项系数，即得勒让德多项式．§6.1.1二阶

2、线性齐次常微分方程的级数解法二阶线性齐次常微分方程的标准形式是式中w(z)是待求的复变函数;p(z)和q(z)是已知的复变函数，称为方程的系数．一般来说，方程在复平面的不同区域的解可以有不同的形式．通常的间题是：求方程在某点z0的邻域内满足一定条件[如初始条件w(z0)=C0,wʹ(z0)=C1]的解．4级数解法对方程没有特殊的要求．它的基本方法是：把方程的解表示为以z0为中心、带有待定系数的幂级数，将这个幂级数代入方程及定解条件，求出所有待定系数即可．方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z)及q

3、(z)的解析性决定．5常点、正则奇点、非正则奇点如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析，z0称为方程的常点；如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一阶极点，ⅱ)q(z)的二阶极点，z0称为方程的正则奇点；注：[ⅰ)或ⅱ)]=[ⅰ)和ⅱ)]如果z0不满足上面两种条件，则z0称为方程配非正则奇点。6定理1在常点z0的邻域

4、z-z0

5、

6、z-z

7、

8、。r1和r2称为方程的指标方程8指标方程的确定：将代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个根就是r1和r2(取r1≥r2)．w2(z)含或不含对数项，取决r1和r2是否为零与整数；系数a是否为零而定9定理1和定理2的证明见有关专著①．本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线性齐次常微分方程的级数解法．第6章以勒让德方程为例(在常点的邻域求解)，第7章以贝塞尔方程为例(在正则奇点的邻域内求解)．若讨论的方程是实数方程，自变量可用x表示，函数可用y表示，即方程(6.

9、1．1)可改写为y"(x)＋p(x)yʹ(x)＋q(x)y(x)＝0(6.1.5)10§6.1.2勒让德方程的本征值问题二阶线性齐次常微分方程(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0-1

10、)，不是l取任何值时方程都有非零解．因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归结为求解本征值l=l(l+1)与本征函数y(x).121.级数解的形式可见，x=0是方程的常点①．方程的解具有形式①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x)分别延拓为但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号132.系数递推公式由此得系数递推公式143.由递推公式求系数，得通解15勒让德方程的通解可表示为它们是勒让德方程的两个线性无关的特解．164.有界解的要求，自然边界条件现

11、在以y0(x)为例，求级数的收敛半径．令u=x2，则级数Y0(u)相邻两项的系数分别为Cn和Cn-2．由式(6.1.10)可得17这表明，在x=±1处，两级数是发散的．18物理量总是有界的因此，在求解勒让德方程时，要求解在x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的条件称为勒让德方程的自然边界条件．为了得到在闭区间[-1,1]内有界的解，必须研究在什么条件下，这两个无穷级数才能中断为多项式.195.本征值与本征函数从系数递推公式(6.1.9),若l为偶数：l=2n(n为正整数)，则级数y0(x)将到x2n项为

12、止．将k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为重复应用式(6.1.9)，可证C2n+4,C2n+6,…均为零。y0(x)的最高次幂为x2n=xl．根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的解，取常数C1=0，则勒让德方程的解为(6.1.16)20同理，若l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级数y1(x)到x2n+1项为止．将k=l=2n+1代入式(6.1.9)，即得x2n+3项的系数为重复应用式(6.1.9)