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1、第六章勒让德（Legendre）多项式－－－－－－特殊函数之二1Legendre方程的导出§6.1 Legendre方程及其求解引例：求解下列问题用分离变量法求解。令在球坐标下方程为代入方程得n为实数或复数Euler方程m是正整数，以保证以为周期连带的勒让德方程勒让德方程2.Legendre方程的解用幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为各阶导数为代入方程，整理，得注意于是由幂级数展式的唯一性，有于是其中 为任意常数，则方程的解为由 的任意性知，下列两个函数也是方程的解：的性质：（１）线性无关，故得到了Legendre方程的通解（２）收敛区间均为（－１，１），在端点发散，因
2、而Legendre方程在[-1,1]内没有有界解。（3）当n是正整数时，一个解为多项式Pn(x)，在[-1,1]有界，另一个仍为无穷级数，记为Qn(x)，在[-1,1]内无界，通解为Qn(x)称为第二类Legendre函数。§6.2勒让德多项式讨论勒让德方程中的参数n，考察系数递推关系式情形（１）当n不取整数时，若 不为零，则 不为零，这时 均为无穷级数，且收敛域为（-1,1）情形（２）当n取整数（包括零）时， 中有一个是多项式，另一个是无穷级数。举例分析1.Legendre多项式如n=4，这时如n=-4，这时如n=5，这时不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何
3、？这时取 ，代入上式，并化简得分析n的奇偶性：当n为偶数时，有系数 ，对应多项式为关于x的偶次方的多项式当n为奇数时，有系数 ，对应多项式为关于x的奇次方的多项式n次Legendre多项式统一写法，有称为n次Legendre多项式或第一类Legendre多项式Legendre多项式微分形式或称为罗德利克公式：前几次Legendre多项式及其图形注意其定义域2.Legendre多项式的母函数证明：称为w(x,z)为Pn(x)的母函数。对函数w(x,z)，当时，在单位圆内是解析函数，于是由复变函数理论，将w(x,z)展成幂级数其中C是单位圆内包含原点
4、z=0的任何封闭曲线。做自变量代换，即则显然，z平面上的点O对应于u平面上的点x，z沿C一周，相应的u绕点x也沿某闭曲线C’一周，因此又于是3.Legendre多项式的性质x=1x=-1x=0基本性质以-x代x以-z代z奇偶性递推公式对z求导对x求导｝整理得即｝整理得正交性在[-1,1]上正交，即先证明：所以证毕例1 计算例2 计算解故4.Fourier-Legendre级数结论：若 在 内分段光滑，且 则在连续处有其中在不连续处有解：设例2：将在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式则故例3：将在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式解：设则由奇偶性知故4.Lege
5、ndre多项式的应用例1 (球形域内的电位分布)在半径为1的球内求调和函数u，使它在球面上满足。解：根据边界条件知所求函数与变量无关，采用球坐标系，数学模型为：用分离变量法。令 ，代入方程，得应该是有界函数，根据Legendre方程解的结构可知，只有当n为整数时，方程才有解Euler方程要使Rn有界，必有Dn为零，所以由叠加原理，方程得解为即由边界条件得：而所以故原问题的解为Matlab中命令：y=legendre(n,x)列向量，元素分别为m=1，2，…，n时的函数值。自变量连带Legendre多项式，其中是的m阶导数。可见y(1)为我们这里介绍的Legendre多项式的值。例如
6、做前几阶Legendre多项式图形。functionzuotux=-1:0.01:1;y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:))
