数理方程第12讲勒让德多项式.ppt

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1、第六章勒让德多项式6.1勒让德方程及其解的表示1勒让德方程勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程（1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程（１.2）(1.2)式的解与半径无关，故称为球谐函数或简称为球函数．球谐函数方程进一步分离变量，令得到关于的常微分方程（1.3）称为阶连带勒让德方程.令和把自变数从换为，则方程（1.3）可以化为下列阶连带勒让德方程形式的（1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则，即有（1.5）称为阶勒让德（legendre

2、）方程．同样若记，则上述方程也可写为下列形式的阶勒让德方程(1.6)2勒让德多项式的表示(1)勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为（1.7）式中上式具有多项式的形式，故称为阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．式（1.7）即为勒让德多项式的级数表示．注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式:勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到计算，这应当等于多项式的常数项．如为（即为奇数）时，则只含奇数次幂，不含常数项，所以（１.8）（即为偶数）时，则含有

3、常数项，即（１.7）中的那一项，所以（１.9）式中记号而因此，．(2)勒让德多项式的微分表示（1.10）上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．下面证明表达式(1.10)和（1.7）是相同的．【证明】(略）6.2勒让德多项式的性质1勒让德多项式的性质(1)勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）的个零点都是实的，且在内；（ii）的零点与的零点互相分离．(2)奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换容易得到（2.1）即当为偶数时，勒让德多项式为偶函数，为奇数时为奇

4、函数(3)勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间上满足(2.2)其中当时满足，(2.3)称为正交性．相等时可求出其模(2.4)下面给出公式（2.2），及其模(2.4)的证明【证明】（1）正交性勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有两式相减，并在[-1,1]区间上对x积分，得因为上面等式左边的积分值为所以当时，必然有根据成立．（2）模（利用分部积分法证明）为了分部积分的方便，把上式的用微分表示给出，则有注意到以为级零点，故其阶导数必然以为一级零点，从而上式已积出部分的值为零再进行次分部积分，即得是

5、次多项式，其阶导数也就是最高幂项的阶导数为．故再对上式分部积分一次容易看出已积出部分以为零点．至此，分部积分的结果是使的幂次降低一次，的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计次），即得故勒让德多项式的模为且有(4)广义傅里叶级数定理2.1在区间[-1,1]上的任一连续函数可展开为勒让德多项式的级数（2.5）其中系数(2.6)在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为，这时有(2.7)其中系数为（2.8）2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例2.1将函数按勒让德多项式形式展开

6、.【解】根据（2.5）设考虑到，由(2.6)显然有所以例2.2将函数展开为勒让德多项式形式【解】用直接展开法令，则由我们知道：可设考虑到勒让德函数的奇偶性，显然由项的系数，显然得出故有下面我们给出一般性结论：结论1：设为正整数，可以证明：结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数为奇函数，则展开式（2.5）系数若需展开的函数为偶函数，则展开式（2.5）系数例2.3以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把展开为广义傅里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，是三次多项式（注意既非奇函数，也非偶函数）

7、，设它表示为比较同次幂即得到由此得到例3.1求【解】勒让德多项式的递推公式证明（略）例3.2求积分【解】利用递推公式（3.11）．故有例3.3求下列方程的解．解：由球坐标得到6.4勒让德多项式的应用．．6.5连带勒让德函数（略）