第六章---数理方程勒让德多项式.ppt

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1、第六章勒让德多项式勒让德方程的引出勒让德方程的求解勒让德多项式函数展开成勒让德多项式的级数6.1勒让德方程的引出6.1勒让德方程的引出在球坐标系下Laplace方程的表达式为令代入上式得用遍乘各项并移项整理，即得6.1勒让德方程的引出引入参数分解整理得欧拉型方程球函数方程欧拉方程通解为任意常数。6.1勒让德方程的引出求函数方程两端同时乘以并移项得引入参数分解可得两个常微分方程6.1勒让德方程的引出6.1勒让德方程的引出第一个方程与自然周期条件结合，构成本征值问题解之可确定本征值和相应的本征函数6.1勒让德方程的引出第二个方程为连带的勒让德方程

2、令，并记勒让德方程m=0时6.1勒让德方程的引出6.2勒让德方程的求解6.2勒让德方程的求解考虑勒让德方程将其代入勒让德方程，得令整理比较可得c=0时6.2勒让德方程的求解依此可得递推公式6.2勒让德方程的求解其中6.2勒让德方程的求解6.3勒让德多项式6.3勒让德多项式可以将其它系数一一推算出来，即取将6.2中的递推公式写成有6.3勒让德多项式一般地当时，有当n为正偶数时，将这些系数代入到中得到6.3勒让德多项式n为正奇数时，将这些系数代入到中得到这两个多项式可以统一写成n阶勒让德多项式6.3勒让德多项式0～4阶Legendre多项式为勒让

3、德多项式的微分表达式多项式的Rodrigues表达式6.3勒让德多项式当为整数时,取中总有一个是勒让德多项式，在[－1，1]上有界，这时另一个函数仍是无穷级数，记作此时Legendre方程的通解为称为第二类Legendre函数，它在[-1，1]上仍是无界的.6.3勒让德多项式6.4函数展开成勒让德多项式的级数1勒让德多项式的正交性称为勒让德多项式的模值。是一个正交的函数系.6.4函数展开成勒让德多项式的级数展开定理设f(x)为[-1,1]上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数，且f(－1)＝－1,f(1)＝1，则f(x)可展开成上式称为f(x

4、)的傅立叶－勒让德级数，简称F－L级数。其中6.4函数展开成勒让德多项式的级数6.4函数展开成勒让德多项式的级数例1将函数f(x)＝

5、x

6、在区间（－1，1）内展成勒让德多项式的级数。解因f(x)在区间（－1，1）内是偶函数，而是x的奇函数，故下面计算从而6.4函数展开成勒让德多项式的级数例2求证勒让德多项式的递推公式已知时，反复利用上式可以推出任意阶当勒让德多项式的表达式。6.4函数展开成勒让德多项式的级数例3球形域内的电位分布在半径为1的球内求调和函数u，使其在球面上满足解：在球面坐标系由于边界条件不依赖于，所以u也不依赖于6.4函数展开成

7、勒让德多项式的级数所提问题可化为下列边值问题代入方程得化简并引入参数分解得到两个常微分方程用分离变量法求解，令6.4函数展开成勒让德多项式的级数在第二个方程中，令则有勒让德方程为保证函数u的有界性n只能取为整数，此时是方程在自然边界条件下的特征函数系.6.4函数展开成勒让德多项式的级数R的方程当应保持有界，故，即利用叠加原理，原问题的解可以表示为为待定系数，需由边界条件确定，代入边界条件的通解为6.4函数展开成勒让德多项式的级数用x代替由比较系数可得因此所求定解问题的解为6.4函数展开成勒让德多项式的级数