第五章-勒让德多项式.ppt

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1、第五章：勒让德多项式深圳大学电子科学与技术学院几个微分方程的引入勒让德方程的求解勒让德多项式的性质函数展成勒让德多项式的级数本章提要:参考了孙秀泉教授的课件三维波动方程：三维热传导方程：分离变量：一、几个微分方程的引入xyz球坐标下：球贝塞尔方程欧拉方程k=0k=0连带勒让德方程：勒让德方程：m=0取：亥姆霍兹方程参数形式的贝塞尔方程取：=1时Sturm-Liouville（施图姆-刘维尔）型方程贝塞尔方程勒让德方程取：从拉普拉斯方程直接引入勒让德方程球坐标系中的拉氏方程为：设具有变量分离的形式解两边同乘以，并移项，得

2、(1)左端只与r有关，右端只与、有关，要使两边相等，只能等于常数。令该常数等于l(l+1)，l为实数。(3)(2)(4)(3)为欧拉方程，其通解为(4)两边同乘以sin2，并移项，得(5)(6)(7)(7)的通解为(6)为连带勒让德方程。令x=cos，y(x)=()，则当m=0时，勒让德方程(5)二、勒让德方程的求解设此方程在x=0处有幂级数解(8)代入式(8)求和为零的充分必要条件是任意项xk的系数为零k=m+2勒让德方程有两个线性独立的解y0(x)和y1(x)，称为勒让德函数，称为第一类勒让德函数。通解：

3、y0(x)只包含x的偶次幂，y1(x)只包含x的奇次幂。C0与C1线性无关勒让德函数在x<1内收敛勒让德函数在x>1时发散。可以证明，在边界x=1上是无界的。在实际问题中，又常常要求勒让德方程在闭区间[-1,1]上有界。考虑将无穷级数y0(x)和y1(x)截断，使它们变成多项式。多项式是一定有界的。当l=k时，Ck+2、Ck+4、…均为零，无穷级数y0(x)和y1(x)中，必有一个退化为l次多项式。当实数l限于l=0,1,2,3,…时，勒让德方程的解为多项式。取常数项l阶勒让德多项式勒让德方程的通解为：当l为偶

4、数时，y0(x)被截断成多项式，但y1(x)仍是无穷级数[记作Y1(x)]；当l为奇数时，y1(x)被截断成多项式，但y0(x)仍是无穷级数[记作Y0(x)]。Y0(x)与Y1(x)组合表示为Ql(x)，在x<1时收敛，在x=1上是发散的，称为第二类勒让德函数。问题:如何具体写出勒氏多项式.问题:如何具体写出勒氏多项式.问题：Pn(x)的最高幂次是？特点：l为偶数时以y轴对称(Pl(x)为偶函数)，l为奇数时以坐标原点对称(Pl(x)为奇函数)三、勒让德多项式的性质1、微分表示罗德里格斯(Rodrigues)公式2

5、、积分表示3、生成函数例4、递推公式(n1)例原本定义：n=0,1,2…,为何要对n提出限制？唯有n=0特殊！1、勒让德多项式的正交归一性四、函数展成勒让德多项式的级数2、勒让德多项式的完备性设f(x)在闭区间[-1,1]上是分段光滑的，则f(x)可以按勒让德多项式级数展开，即，这称为勒让德多项式的完备性。展开系数：勒让德级数应用举例例1.解：例2.证——方法之一（依据定义）已知代入，得已知代入，得求证：证——方法之二（待定系数法）展开式的唯一性展开式的唯一性例3：计算积分利用P0(x)=1例4：计算积分了解勒让德方程

6、的引出和概念掌握勒让德方程的级数解能熟练运用勒让德多项式的递推公式作计算掌握函数展开成勒让德多项式的级数的方法本章要求递推公式函数展成勒让德多项式的级数