勒让德函数和其应用ppt课件.ppt

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1、第五章勒让德函数及其应用§1勒让德方程及其本征值问题亥姆霍兹方程：在球系分离变量的结果连带勒让德方程从数学上看，当u=u(r,)=R(r)()时→m2=0，勒让德方程从物理上看，u(r,)代表的是一种对z轴具有旋转对称性的场。例：一导体球放入均匀电场中，求球外电位分布。当z轴选任意方向时，u=u(r,,)Ezzo当z轴选为电场方向时，u=u(r,)勒让德方程欧拉型方程设代入方程得：一、勒让德方程的本征值问题①②为了求解方便，作变量变换：二、勒让德方程的级数解②若P(x)、Q(x)在

2、

3、x-x0

4、

5、x-x0

6、

7、x

8、<1内解析∴

9、x

10、<1内解y(x)一定是解析的由泰勒定理：y(x)一定可展为：将级数解代入:③③为一个递推公式，其功能为偶次幂系数奇次幂系数④推导C2j的一般表达式：③中令k=0令k=2令k=4令k=2j-2同理得：④C0,C1为两个任意常数，y0,y1为两个线性无关的特解解的收敛性：i）

11、x

12、<1，y0(x)、y1(x)均收敛（定理）∴④是方程的通解ii)x=±1当≠l(l+1)时，y0,

13、y1均为发散的无穷级数。当=l(l+1)时当k

14、散的无穷级数特解前的系数为零然后利用递推公式反推：得：将本征函数取为Pl(x)=常量yl(x)，并使最高次幂项xl的系数为证明：利用二项式定理证毕给出了勒让德函数除多项式定义之外的另一种表达形式解释：∵r=0时，Cl-2r＝Cl，是最高次幂系数，r越大，l-2r越小为保证l-2r≥0即2r≤lr≤l/2◆[l/2]代表不大于l/2的最大整数◆l=偶数时，Pl(x)是偶次多项式l=奇数时，Pl(x)是奇次多项式给出前几阶勒让德多项式：三、勒让德本征值问题的解本征值：本征函数：同理：解为：给出前几阶

15、勒让德多项式：直角系①球系②四、勒让德函数系的性质1.奇偶性2.Pl(x)的取值+10-10x=1x=0x=-1P0(x)=1P2(x)P1(x)P3(x)i)值域：为一有界函数定义域：ii)有l个分立的零点iii)iv）端点值3.Pl(x)的微分表达式—罗巨格公式4.积分性质若f(x)是k次多项式且k

16、系正交归一性：完备性：对于定义在[-1,1]上具有一、二阶连续导数的函数f(x)均可按{Pl(x)}展为绝对且一致收敛的广义付氏级数或[例]将f(x)=x2在x∈[-1,1]上按{Pl(x)}展为广义付氏级数法一：法二：法三：∵x2是偶函数，只能用偶数阶勒让德多项式展开设：①②6.Pl(x)的生成函数公式从历史上看，勒让德多项式首先是由势论中引出的例：求处于点处的单位正电荷在点产生的电位o若选择自然单位制设在t=0点邻域

17、t

18、<1内可展为泰勒级数计算可得：称为的生成函数每个特殊函数都有一个对应的

19、生成函数利用生成函数公式证明：Pl(1)=1Pl(-1)=(-1)l()1

20、

21、)(210212<=+-å¥=-ttxPttxlll令x=1左=右=左＝右：比较前系数:应用：场点比源点距离原点远①场点比源点距离原点近②R：场点r：源点qo原则上

22、t

23、<1()1

24、

25、)(210212<=+-å¥=-ttxPttxlll7.递推公式从生成函数公式出发，可以证明：①②两边取ln：(*)两边对t求导：平凡解①对x求导：对（*）式中的x求导：上两式联立求解：②递推公式除了在理论上有用外，对于含有勒让德多项

26、式的积分也很有用【例】计算五、应用举例[例1]设半径为a导体球的球面温度分布为18cos2，求解球内稳定温度分布。解：定解问题①注：①无源的稳定场②与无关决定u=u(r,)设u(r,)=()R(r)代入①中方程及有关边条件得：②和：③解②得：解③：设r=et，则③变为：利用③的解为不需要区别l=0迭加特解得通解：代入边条件定解:法一：直接比较系数：法二：【例2】均匀电场E中放入一接地导体球，半径为a，求球外电位分布oz解：列出定解问题方程：如果oz轴选择与电场同方向，则u=u(r,