一类问题的解法新思路探究.pdf

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1、40福建中学数学2013年第4期一类问题的解法新思路探究12王陈勇陈智猛1福建省厦门市第十中学（361001）2福建省厦门市教育科学研究院（361004）1引例知道函数g()x在(0，+∞)存在唯一的极小值点，所以（2012年高考湖南卷·文22）已知函数x∈(xx，)，满足gx′()0=恒成立．0120xf()x=−eax，其中a>0．优势：所构造的函数形式简单熟悉，运算量小，（Ⅰ）略；兼具几何直观和代数运算相结合的特征．（Ⅱ）在函数f()x的图象上取定点A()xfx，()，事实上，探究此类问题时，运用几何直观分析11Bxfx()22

2、，()(x12

3、解题的新思路？Bxfx(22，())(x12k成立？若存在，fx()()21−fx求x的取值范围；若不存在，请说明理由．依题意由=k，可得fx()()−fx=021xx−21解法分析类似1．2的分析可知ak(1+>)0且函kx−kx，即f()xk−=−xf()xkx，令g()xfx=()−212211数g(xfxk)=()−x在(x，x)上存在唯一的极小值点12kx，等价于函数g(x)的图象在[x，x]上两个端点处1211+km=ln，满足

4、gm′()=0，由极值点的意义知：的连线平行于x轴，所以连续可导函数g()xfx=()−aakx在[x12，x]上是不单调的（※）；又因为g′′()xfx=()存在实数ab，，x120这与（※）gb′()0>，即f′()ak<且f′()bk>，所以存在x∈0矛盾，所以ak+>0，令gx′()=⇒−+=0ex0(ak)0，()x12，x使f′(x0)>k成立，且x0的取值范围是011+kx0=+ln(ak)，且x0两侧导函数值g′()x异号，则函(mx

5、，2)，即(ln，x2)．aa数g()xfxk=−()x在(0，+∞)存在唯一的极小值点，点评比较高考试卷提供的标准答案，此解法的结合（※）得x∈(xx，)，且满足gx′()=0，即0120思路与解答步骤以及运算量大幅简化，并结合导数fxk′()−=0，即f′()x=k，命题得证．00的几何意义，从真正意义上触及所要探究问题的数1.3新解法分析学本质，通过问题探究，实现对蕴涵其中的数学思前提：函数f()x在[x12，x]上连续、在()x12，x可想方法的再认识．导，在初等数学的背景下，可以通过图象观察予以“默例2（2012年高三毕业班

6、质检福建卷·文12）认”．设函数f()x及其导函数f′()x都是定义在R上的函关键：构造辅助函数g()xfxk=−()x，它不是常数，则“∀xx，∈R，且x≠x，fx()()−>x0，所以0<<

7、，R，不妨设x1，即f()xfxfxfx−−()12>()()．12xx−−xx当f()()xf≥x，fx′()0≤，1212f()()xf−

8、即−≤1(fx′)≤0；1⎛⎞x+11当f()()xf，例4求证：当x>0时，ln⎜⎟>．12⎝⎠xx+1f()()xf−