一类推广的Virasoro-like李代数.pdf

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1、2014年8月纯粹数学与应用数学Aug．2014第30卷第4期PureandAppliedMathematicsVo1．30NO．4一类推广的Virasoro．1ike李代数余德民(湖南理工学院数学学院，湖南岳阳414000)摘要：构造了一类无限维李代数，它是Virasoro—like李代数的推广．研究了这类李代数的两类自同构，这两类自同构均关于映射的合成构成自同构群，一类同构于对称群，另一类同构于Klein交换群．得到了这类李代数一些特殊的自同态、中心．证明了这类李代数不是半单李代数．关键词：理想：自同构：同态中图分类号：O152．5文献标识码：A文章编号：1008—5513(2014)0

2、4—0341—06DoI：10．3969／j．issn．1008—5513．2014．04．0021引言Virasoro—like李代数是上世纪八十年代作为拟多项式环的一阶微分算子代数被引入的，九十年代在理论物理的广义对称性研究中产生了同样的代数结构．设C为复数域，Z为整数加群，文献[1]定义了一类Virasoro—like李代数94，并研究了Virasoro—like李代数94的单性，设是由(。。)(Val，a2∈z)张成的复数域C上的线ImP_f~，李运算定义如下：[(al,a2)，L(bl，=(a2bl—b2a1)L(＆l+61+62)此运算在基向量上线性扩张，并满足反对称性和Jaco

3、bi不等式，称g4为Virasoro—like李代数．文献[2]研究了Virasoro—like李代数g4的导子代数和导子代数的自同构群．文献f3]研究了带参数，的Virasoro—like的导子代数．文献『4]研究了广义Virasoro—like李代数．作者【5I9]曾研究了Virasoro—like李代数及其推广的Virasoro—like李代数．本文推广了Virasoro—like李代数94，构造了李代数g，并发现李代数9是一类特殊的李代数，有一些良好的性质．g为C上线性空间，其基向量为：L(b1，b2，b3Jub41b5)ub6】b7，b8)(Vbi∈z，i∈{1，2，3，4，5，6

4、，7，8))，g=0CL(b1，b2bb4，b5，b6，b7，b8)．收稿日期：2014—04—23．基金项目：湖南省教育厅重点项目f12A058)；湖南省重点建设学科建设项目作者简介：余德民(1975一)，博士，副教授，研究方向：李代数．342纯粹数学与应用数学第30卷在g上定义李运算为[(。l，Ⅱ2，。3，n4，。5，。6，n7，。8)，L(bl'623，64，65，66，67，68)】=[(04+a5+a6+a7+as)(bl+b2+b3)一(b4+b5+b6+b7+b8)(al+a2+a3)】×(n1+61，。2+62，。3+b3，。4+64，n5+65，。6+66，。7+67，。8

5、+68)．然后，在基上双线性扩张．可验证运算满足反对称性和Jacobi恒等式，从而_q为无限维李代数．本文所研究的李代数夕实质也是推广的Virasoro李代数．Virasoro李代数及推广的Virasoro李代数的结构和表示一直是李理论研究的热点问题之一．Virasoro李代数及推广的Virasoro李代数的结构和表示与理论物理，量子场论及统计力学等学科有着深刻的内在联系．本文主要研究了李代数_q的理想、自同构、同态．1主要结果构造g中自同构如下：f：gg，，((。，。。，。3，。，n5，。6，。，。))：(。，。，。。，。，。，。6，。7，。)(VL(。，。。，。。，。，。，。6，。，。)

6、∈9)，fl：gg，fl(L(。1，。2，。3，。4，。5，。6，。7，。8))：(。3，n2，nl，Ⅱ4，。5，。6，。7，。8)(VL(。l，02，。3，n4，。5，。6，n7，n8)∈9)，f2：g_÷g，_2((。，。，。。，。，。，。。，。，。。))=(。。，。，。，。，。，。。，。，。)(VL(。，。。，。。，。，。，。。，。，。)∈9)．‘厂，^，，2在9的基向量(。JⅡ2。。，。，。。，。，。)上线性扩张．，定理2．1f，fl，f2是g的自同构．证明从构造知，为g上的线性映射，且既是单射又是满射．可验证，([(。1，。2，。3，。4，。5，。6，。7，。8)，L(b1，b2，

7、b3，b4，b5，b6，b7，b8)])=[，((。，。。，。3，。，，。。，。，。))，f(L(b1，b。，b。，b，b，b。，b，b))]从而(，∈g)，(，圳)：[．厂()，，()】，同理可证．厂l，是9的自同构设9的恒等自同构为e，构造9中自同构如下：f3：gg，f3(z(。，。2，。3，。4，。5，。6，。7，。8))=(。，。3，。2，。4，。5，。6，。7，。8)(VL(。l，。2，。3，。4，