具有平行平均曲率向量场的三维子流形的2-调和等距浸入.pdf

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1、第25卷第8期哈尔滨学院学报VOI.25NO.82003年8月JOURNALOFHARBINUNIVERSITYAug.2003［文章编号］1004—585（62003）08—0138—03具有平行平均曲率向量场的三维子流形的2-调和等距浸入高红玲（哈尔滨学院初等教育学院，黑龙江哈尔滨150080）［摘要］设f：M33+（PC）（C三0，P>1）是三维Riemann流形到3+P维常截面曲率C的空间形～F式的2-调和等距浸入，且f具有平行平均曲率向量.本文利用三维Riemann流形的曲率特性，讨论f为极小浸入的充

2、分条件.［关键词］2-调和映射；极小浸入；高斯映射［中图分类号］O189.12［文献标识码］A姜国英在文章［1］中给出了2-调和映照架场，则F3+（PC）的结构方程为的第一、二变分公式，并讨论了2-调和映照的ic4=-】cAB八cBcAB+cBA=0B一些性质.在文章［2］中，用活动标架法来研究{1Riemann流形向2-调和的等距浸入fIM～N0icAB=-】CcAC八cCB+2】CDABCDcc八cD在目标流形N是球面时，给出了f为极小浸入其中ABCD=C（8AC8BD-8AD8BC）的充要条件.本文利用三

3、维Riemann流形的曲cO=0限制在M3上，则有率特性，讨论从M3到F3+P（C）的2-调和映{aaacO=】hic，hi=hi照为极小浸入的充分条件.当F3+P（C）为单位ici=-】ci八cici+ci=0球面时得到［2］中的结果.{1ici=-】ci八cI+】RiIclI八cl一、基本概念和公式i2I，l其中本文指标取值范围规定如下：）+】（haaaa）RiIl=（c88i-8i8lIihi-hilhIai，，I=1，2，3；A，B，C⋯=1，2，⋯，3+P；3由此得到M的Ricci曲率为O，B，Y⋯=

4、4，⋯，3+PaaaaRi=28ci+】（hihi-hiIhI）在F3+P（c）中选取局部规范正交标架e，OI1a3记f的第二基本形式为B（f）=】hici③ce2，e3，e4，⋯，e3+P，使当它们限制在M上时，iOe1，e2，e3，与M3相切，e4，⋯，e3+P是M3的法向③eaf的张力场T（f）=】（trHO）eO，其中HO表O示三阶矩阵（ha），Tr表示矩阵的迹.若设M3的量，以c1，⋯，c3+P，表示e1，⋯，e3+P的对偶标i［收稿日期］2004-02-16［作者简介］高红玲（1968-），女，哈尔

5、滨人，讲师，主要研究数学分析。第8期高红玲：具有平行平均曲率向量场的三维子流形的2-调和等距浸入1391推论1设f：M33+（Pc）是具有常平均平均曲率向量为则（f）.记M3的平均F=32曲率的2-调和等距浸入，则B（f）=3C曲率为H，有（f）2=9H2.或者f是极小浸入.按［1］中定义，f是2-调和映射，如果f的推论2设f1M33+（Pc）是具有平行平F张力场（f）满足Jacobi型方程均曲率向量的2-调和等距浸入，若M的Ricci——3X（f）+k（d（fek），（f））d（fek）=0曲率大于C+3H2

6、，则f是极小浸入.k=1—证明：设O是M3上的函数，表示M3的（其中X是向量从f-1TF3+P（c）的迹RapiaceRicci曲率的下确界，根据M3的高斯方程有R算子，K（·）是F3+（Pc）的曲率算子.i由［2］中f为2-调和等距浸入的充要条=2CSi+（hi-hikhi），k件为：对任意g，a总有ORi成立，两边对i=求和，（2hh+hh）=03a2a2，，kikgkkkgOR=6C+（hi）-（hik）{i=1i，，k，hkk-hhkkhpk+mkh=0所以有：3O6C+（f）2-B（f）2，k，，k，

7、p得到当假设f不是极小浸入，有B（f）2=3C，代入m=3，K=C时，有f为2-调和等距浸入的充上式有要条件为：3O6c+9H2-3c（2hkhgk+hhkkg）=0OC+3H2，，k{（）这与题设矛盾.故f是极小浸入.hk-hhpkhpk+3Ch=0k，h，p推论3设M3是F3+P（c）的具非零平行其中hik和hikl和张量hi关于｛1｝的一次和二平均曲率向量的2-调和等距浸入紧致连通子次共变导数.流形且C<7H2，若M3的Ricci曲率处处不小二、定理及其证明523于（C+H），则M必是全脐点的.4定理1设

8、f是从三维Riemann流形M3到证明：由推论2及［3］中定理1即得结论.常数截面曲率C的空间形式的2-调和等距浸定义f1M2F3+P（c）的Gause映照g1M入，且f具有平行平均曲率，则当B（f）2<3+P（c）的P维法平面，平G4，P是将M3在F3C时，f为极小浸入.移到E4+p维欧氏空间中过原点0，则M3中每证明：设M3具有平行平均曲率向量，选一点映成G4，p中的一点（.其中G