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《《高等数学a_一_》强化训练题一至三解答 1.2元》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《高等数学A(一)》强化训练题一解答一、单项选择题:1.C;2.B;3.D;4.A;5.C.二、填空题:6.(,−∞0)(U2,)+∞;7.2;8.(0,1);129.−−+(1x)C;10.x=0.2三、计算题:ln(arcsin)x11.lim+x→0cotx11⋅222ln(arcsin)xxarcsinx1−xsinx解:lim==lim−lim=−lim=0.++++xx→→00cotxx1x→0arcsinx→0x−2sinx1xx12.lim()x+ex→+∞1xxxln(x+e)解:设yx=+()e,则lny=,xx1e+xxln(x+e)x+exe因为l
2、imlny=lim===limlim1,xxx→+∞→+∞xx→+∞11x→+∞+e1xyxln所以lim()xy+==elimlime=e.xx→+∞→+∞x→+∞xy13.如果函数y()x由方程e2=x+y所确定,求y′′(0).解:x=0代入方程得y(0)1,=xy方程两边对x求导,得e(y+=xy′)2+y′,将x=0,y(0)1=代入得y′(0)=−1,xyxy2xy方程e(y+=xy′)2+y′两边再对x求导,得e(y+++=xy′)e(2y′′xy′′)y′,代入上述数据得y′′(0)=−1.2⎡⎤114.设yf=(sin),其中f是可微函数,求yx′().
3、⎢⎥⎣⎦x-1-11112111解:yf′′=⋅⋅2(sin)f(sin)cos⋅(−)=−f(sin)(sin)cos.f′22xxxxxxxx15.∫cosx+1dx2解:令x+=1,t则xt=−1,d2x=ttd,所以∫∫∫cosx+=1dxcos2dttt⋅=2dsintt=2(sintt−∫sind)tt=++2(sintttCcos)=++2(x1sinx1cos++x1)+C.lnx16.dx∫2(1−x)lnx1111解:dlx==nxxdln−⋅dx∫∫2∫(1−−x)1xx1−1−xxlnxx⎛⎞11ln=−+∫⎜⎟d(x=−−−+lnxxln(1))
4、C.111−−−xxx⎝⎠xx17.已知f′(e)=+sinxxcos,求f().xxxxxx解:因为f(e)==∫∫fx′(e)de(sin+=cos)edxxesinx+C,所以f()xx=+sin(ln)xC.1218.在曲线yx=+(1)(0x>)上任意点P作切线,切线与x轴交点是M,又从点2P向x轴作垂线,垂足是N.试求三角形PMN面积的最小值.解:在点Pxy(,)处切线方程:0012y−=−yxxx(),其中yx=(1+).0000022yyyx+10000令y=0,得xx=−,所以Mx(,−0),Nx(,0);MN==;000xxx2x000022211xx
5、00++1(1211)则三角形PMN的面积SM==NPN⋅⋅(1x+)=⋅;ΔPMN0222xx280022dS(1xx+−)(31)100由==0,得x=.20dxx003⎛⎞11⎛⎞因为当xS∈<⎜⎟0,,′′0.x∈⎜,+∞⎟,S>0.⎝⎠33⎝⎠-2-⎛⎞1163所以min{}SS==⎜⎟.⎝⎠39n⎡1⎤fa()+⎢n⎥19.设函数f()x满足:f()0,()af≠′a存在.求极限lim⎢⎥.n→∞fa()⎢⎥⎣⎦1fa()(+−fa)nfa()1n⎧⎫fa()⋅⎡⎤⎡11⎪⎪⎤fa()(+−1fa)nfa()++fa()(−fa)nf′()a⎢⎥⎢⎪⎪⎥nnf
6、()a解:lim⎢⎥⎢=+lim⎨⎬1⎥=e.nn→∞⎢⎥⎢fa()→∞⎪⎪fa()⎥⎣⎦⎣⎪⎪⎦⎩⎭220.设函数f()x满足f′′()(())2.xfxx+=′讨论x=0是否是函数f()x的极值点.解:(1)若f′(0)≠0,则x=0不是函数f()x的极值点;2(2)若f′(0)=0,由于f′′()2(())xxf=−′x是连续函数,得2fx′′()2(())xfx−−′22()()fxfx′′′lim==limlim=20−=2>0,xx→→00xxx→01所以当x∈−(,0δ)时,fx′′()0,<当x∈(0,)δ时,fx′′()0,>得xf∈−(,0δ),()0
7、′′x>,xf∈(0,)δ,()0x>;则x=0不是函数f()x的极值点.21.设函数f()x是单调函数且二阶可导,记gx()是f()x的反函数.已知:f(1)=2,1f(1−xf)−(1)ff′′(1)=−,′(1)=1.求:(1)lim;(2)g′′(2).3x→02xfxf(1−−)(1)1fxf(1−−)(1)13解:(1)lim=−lim=−f′(1)=;xx→→0022xx−2611−gxg′′(2+−)(2)fyf′(1+)′(1)(2)g′′(2)==limlimxy→→00xf(1+−y)f(1)ffy′′(
