《高等数学a(三)》强化训练题一及解答

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1、《高等数学A(三)》强化训练题一一.单项选择题1.函数zfxy=(,)在点(x,y)处具有两个偏导数f(,),(,)xyfxy是函数存在00xy0000全微分的().A.充分条件B.充要条件C.必要条件D.既不充分也不必要232.设ux=+++ln(1yz),则()uuu′′′++=().xyz(1,1,1)13A.3B.C.6D.222xy3.极限lim=().24x→0x+yy→01A.0B.1C.D.不存在24.设PxyQxy(,),(,)在单连通区域D上具有连续的一阶偏导数,则表达式PxQydd−为某函数的全微

2、分的充要条件是().∂∂PQ∂PQ∂A.+=0B.−=0∂∂xy∂∂xy∂∂QP∂QP∂C.−=0D.+=0∂∂xy∂∂xy225.锥面∑=+:(zxyz≤2),则曲面积分∫∫zSd=().∑8π82πA.−πB.C.D.5π33二.填空题6.设xab=+=+2,yλab,其中aba=1,=⊥2,b,当x⊥y时,λ=____;7.平面过点π(1,2,1)−与Oy轴,则的方程为π__________;-1-⎛⎞x228.设f⎜⎟xy+=,,xy−则f(,)xy=__________;⎝⎠y29.函数u=xyz在点(1,1

3、,1)−处的方向导数的最大值等于__________;22xy5510.设平面区域Da:1+≤>>,(0,b0),则积分()ax++bycxydd的值是ab22∫∫D__________.三.计算题2⎛⎞x∂z11.设zfx=⎜⎟y,,其中f(,)uv具有连续二阶偏导数,求.⎝⎠y∂x∂y33312.方程xyzx++−=30yz确定函数zfxy=(,),求d.z⎧22122()xy+sin,xy+≠0,⎪2213.zfxy==(,)⎨xy+⎪22⎩0,xy+=0.(1)f(,xy)在(0,0)处是否连续?(2)ff(0

4、,0),(0,0)是否存在?xy⎧−≤≤11x,214.∫∫yxxy−dd,其中D:⎨D⎩01≤≤y.15.利用斯托克斯公式计算曲线积分222222I=−+î∫()yzxzxyxyd()−+d()−dzΓ3其中Γ是用平面xyz++=截立方体{(,,)

5、0xyz≤x≤≤≤≤≤1,0y1,0z1}的表面所得2的截痕若从,Ox轴的正向看去,取逆时针方向(如下图(a)、(b))-2-zy113xy+=212O1y1x+y=21O11xx2图(a)图(b)216.在变力F=+(1y)i+−(xy)j作用下,一质点沿曲线ya=xx

6、(1−)从点(0,0)移动到点(1,0),试确定参数a,使变力F作的功最小.17.设平行四边形的对角线c=+abda2,=−34b,其中aba=1,=⊥2,b,求平行四边形的面积.18.求曲面x+yz+=1的一张切平面,使其在三个坐标轴上的截距之积为最大.19.设函数Qxy(,)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫2dxyxQxyy+(,)dL与路径无关,并且对任意恒有t(,1)tt(1,)∫∫2dxyxQxyy+=+(,)d2dxyxQxyy(,)d,(0,0)(0,0)求Qxy(,).20.计算三重积分∫∫

7、∫()x+zvd,Ω2222其中Ω为锥面zxy=+与球面zx=−−1y所围成的闭区域.四.证明题21.设f()x在区间[,]ab上连续,证明11bb2∫∫f()dxx≤fxx()dba−−aaba-3-即要证函数在一个区间上的平均值不大于均方根.-4-《高等数学A(三)》强化训练题一解答一.单项选择题1.选C;理由:函数zfxy=(,)在点(x,y)处存在全微分的两个必要条件:00(1)zfxy=(,)在点(x,y)处具有两个偏导数f(,),(,)xyfxy;00xy0000(2)zfxy=(,)在点(x,y)处连续;

8、00函数zfxy=(,)在点(x,y)处存在全微分的一个充分条件:00zfxy=(,)的两个偏导函数f(,),(,)xyfxy在点(x,y)处连续.xy002.选D;理由:因为2123yzuuu′′′===,,,xyz232323111+++xyz+++xyz+++xyz所以2123++yzuuu′′′++=,xyz231+++xyz故63()uuu′′′++==.xyz(1,1,1)423.选D;2理由:取(,)xy沿抛物线xk=yk(0≠)趋向于点(0,0),则有2222xyxyky⋅yklim==limlim=,

9、xy→→00xy24+xky=2xy24++()kyyk2242+1y→0y→02xy由于极限与常数k有关,所以极限lim不存在.24x→0x+yy→04.选D;理由:由-5-∂∂PQ()−=,∂∂yx得∂∂QP+=0.∂∂xy5.选B;2222理由:锥面∑=+:(zxyz≤2)在xOy坐标面上的投影区域为Dxy:2+≤,xy则曲