《高等数学a(二)》强化训练题一解答

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1、《高等数学A(二)》强化训练题一解答一、单项选择题:1．B;2．B;3．C;4．C;5．D.二、填空题:21π+136．;7．1;8．yyy′′′+2+=0;9．;10．.322三、计算题:4311．设f()min{,},xx=x求定积分∫f(3−xx)d.14201253解：令3,−=xt则∫∫11fx(3−=)dxf−−()dttt=++=∫1dtt∫0dtt∫1dt.42txt−112．设f()xt=∫ed,2求∫f()d.xx00222xxx111xxx−−−11解：∫∫f()dxxxfx=−()xed22x=−

2、∫edx∫xed2x000002221xxx2111xxx−−−⎛⎞x=−∫∫e(2221)xxded=−⎜⎟x==ee12−.00⎝⎠2013．求微分方程初值问题xy′=−y(lnyln),xy(1)1=的解.解：方程可表示为dyyy=ln,dxxxy作变换u=,代入方程得xduux+=uuln,dxddux分离变量=,两边积分得lnuc−1=x,即uu(ln−1)xyln−1=cx.x代入初始条件y(1)=1,解出c=−1,从而所求的解为1−xyx=e.-1-∞n⎛⎞λ14．设λ为实常数,判断级数∑(1)1cos−−

3、⎜⎟是绝对收敛、条件收敛还是发散的?n=1⎝⎠n并说明理由.2n⎛⎞λλλ解：根据极限的结论,(1)1cos−−⎜⎟=1cos−与为等价无穷小量()n→∞.即2⎝⎠nn2n有22n⎛⎞λlim⎜⎟1cos−=≠10.2n→∞λ⎝⎠n∞2∞λn⎛⎞λ由比较审敛法的极限形式知,级数∑2与级数∑(1)1cos−−⎜⎟的敛散性相同,n=12nn=1⎝⎠n∞2∞∞λn⎛⎞λn⎛⎞λ又因级数∑2收敛,故级数∑(1)1cos−−⎜⎟收敛,即级数∑(1)1cos−−⎜⎟绝n=12nn=1⎝⎠nn=1⎝⎠n对收敛.22ddyy15.求微分

4、方程x−+=xy22lnx的通解.2ddxx22ddd1dyytyd1yy⎛⎞ddy解：作变换tx=ln,则=⋅=⋅,222=−⎜⎟.代入方程得dddxtxxtdddxxtt⎝⎠d2ddyy−222+=yt.2ddtt2ddyy2−+=22y0的特征方程为r−2r+2=0,相应特征根为r=±1i,所以其21,2ddttt通解为yct=+e(cosctsin);122ddyy令−+=22y2t的特解形式为ya*=tb+,代入方程解得ab==1,1,所以2ddttyt*1=+.2ddyyt故−+=22y2t的通解为yyy=+

5、=*e(cosctctt+sin)++1,212ddtt从而原方程通解为yxc=++[12cos(ln)xcsin(ln)x]lnx+1.-2-416.将函数fx()=展开为x−1的幂级数,并指出其展开式的收敛域.2xx−−23411解：fx()==−,其中2xxxx−−23−31+∞111111nxxx−−−33=−=−2(1−)2=−⋅x−1=−∑2n+1(1x−),x∈(−)3,1,1−n=02∞∞nn1111nn⎛⎞x−−1(1)x+12=⋅x−1=2∑∑(1)−=−⎜⎟⎝⎠22n+1(1),xx∈−(1,3).

6、1+nn==002故∞∞n∞1(nn−1)12nfx()=−∑∑∑nn++11(1x−)−(1x−)=−n(1x−),x∈−(1,3).nn==00224n=0⎧π,0≤

7、⋅⋅).n∫∫ll0022n⎝⎠∞∞nxπ2⎛⎞nππnxfx()==∑∑bnsin⎜⎟1cos−sin,x∈(0,1)(1,2].∩nn==11ln⎝⎠22和函数S(x)的间断点为:xx==0,1.ππ−0+ππSk(4)==0,Sk(4+=1)=,Sk(4+2)==f(2)0,222−π+0πSk(4+=3)=−,(0,1,2).k=±±⋅⋅⋅22ππS(2009)=,S(2010)=0,S(2011)=−.22-3-18.设曲线y=e,x过其上一点Mx(,e)x0的切线为L,且L通过原点,求该曲线、切0线L及y轴所

8、围的平面图形的面积及上述图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.解：yx′()e,=x0切线L的方程为yx−=−ee(xx00x),00又L通过原点,所以0ee(0),−=−xx00x解得x=1,00故切线L的方程为yx=e;1ex图形面积为∫(e−=e)dxx−1.02211xx222212⎛⎞e1体积π∫∫00[(e)