《高等数学a(二)》强化训练题三解答new

《《高等数学a(二)》强化训练题三解答new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《高等数学A(二)》强化训练题三解答一、选择题:1.A;2.C;3.C;4.D;5.B;二、填空题:2x32246.∫cosdttx+2cosx;7.[0,2);8.π;18−2xa29.ycx=+e(cos3csin3)x;10.π.122三、计算下列各题:x∫[ln(1+−ttt)]d011.lim.x→0xx−sinx1∫[ln(1+−ttt)]dln(1+−xx)1+x−11(1−+x)0解:lim==limlim=lim=−1.xx→→00xx−−sin1cosxx→0sinxx→0xx(1+)+∞arctanx12

2、.计算广义积分∫d.x1xx(1+)+∞arctanxx+∞arctan+∞解:∫∫11dx==22d(xx)2∫1arctand(arctanx)xx(1++)1(x)2222+∞ππ3π=(arctanx)=−=.14161612213.计算积分∫x1d−xx.−1解:设x==sin,dtxcosd,tt则π112222222∫∫∫x1−=xxd2x1−=xxd2sint1sin−tttcosd−100π224⎛⎞1π31ππ=2(∫sinstt−=in)d2t⎜⎟⋅−⋅⋅=.0⎝⎠224228-1-dy14.求微分方程(

3、)yx−=y的通解.dxdddyyxy−xxx解:==,,+=1,dddxyx−yyyy11−∫∫yyddyy⎛⎞1yc通解为xy=⋅e1⎜⎟⎜⎟∫∫ed+c=+()ydyc=+.y2y⎝⎠∞n5(1)!n+15.讨论无穷级数∑的敛散性.n=1(2)!nn+1u5(2)!(2)!nn++5(2)nn+1解:因为lim=⋅lim=lim=01,

4、)=∑,则sx′()==∑x2,x∈(1,1).−n=121n+n=11−x∞21n+2xxxxx⎛⎞1所以∑==−=sxsxs()()(0)∫∫∫sxx′()d=22dx=⎜⎟−1dxn=121nx+−0001⎝⎠1−x11+x=−lnx,21−x收敛域为(1,1).−117.将函数fx()=展开为x−2的幂级数,并指出其展开式的收敛域.2xx−−2311⎛⎞11解:fx()==⎜⎟−,(3xx−+)(1)431⎝⎠xx−+∞11n其中=−=−∑(2xx−),∈(1,3).xx−−31(2−)n=0∞n1111n⎛⎞x−2=

5、⋅=∑(1)−⎜⎟,x∈−(1,5).x+13x−23⎝⎠31+n=03∞n1(⎡⎤−1)n所以fx()=−∑⎢⎥1+n+1(2).x−x∈(1,3).43n=0⎣⎦-2-xy18.求微分方程y′=+满足y(1)=2的特解.yxy解:设==uyuxu,,′+′代入方程x21dxy2uxu+′=+uuu,d=,2u=+=+(ln)xc,2(lnxc).∫∫2uxx因为y(1)=2,所以c=2,22则所求的特解为yxx=+2(ln2).19.设曲线yx=ln.(1)过原点作该曲线的切线;(2)求由曲线、切线及x轴所围的平面图形D的

6、面积;(3)求平面图形D绕x轴旋转而成的旋转体体积.11解:(1)y′=,设切点为(,ln)xx,则切线方程为y−=−lnxx(x).0000xx0切线过原点(0,0),−=lnxx−=1,e,00x故切线方程为:y=.e11yy⎛⎞ee2(2)Ay=−=−=∫(ee)dyy⎜⎟e−1.0⎝⎠2202ee⎛⎞x22πe⎡ee⎤(3)Vx=−=π⎜⎟dπ(ln)dxx−−πx(ln)x2lndxxx∫∫01⎝⎠e3⎢⎣1∫1⎥⎦⎛⎞e=−2π⎜⎟1.⎝⎠3−2x20.求微分方程yyy′′++=323′e的通解.2解:特征方程rr

7、++=++=32(2rr)(1)0,特征根rr=−=2,−1,12−−2xx则yyy′′++=32′0的通解为yC=+eeC;12−2x设yA*e=x,代入方程解得A=−3,−2x−2x则yyy′′++=323′e的特解为yx*3=−e;-3-所以原方程的通解为−−22xxx−yyyC=+=*e+Ce3−xe.12111221.设f()xx=+(1+)f()d,xx求f()d.xx1+x2∫0∫0112解:设f()dxxA=,则f()xA=+(1+x),∫01+x2两边在[0,1]上作定积分,则11112A==+fxx()dd

8、xA(1+xx)d,∫∫∫001+x20131⎛⎞xAx=+arctanA⎜⎟x+,0⎝⎠30π⎛⎞1AA=++⎜⎟1,43⎝⎠3A=−π,413所以∫fxx()d=−π.04四、证明题:22.设f()x在[0,1]上连续,且递减.λ1证明:当01<<λ时,∫∫f()dxx≥