化难为易化繁为简——例谈函数与导数中转化与化归思想.pdf

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1、为简{，一一例谈函数与导数中的转化与化归思想江苏省靖江高级中学刘红霞转化和化归思想是数学解题中最基本数，最后转化为形如一z+鱼(n>0，6>0)Z的思想方法之一，著名数学家C．A．雅洁卡的函数，再利用基本不等式求值域．娅提出：“解题就是要把问题转化为已经解过的题”．本文就尝试对如何进行转化与化解厂(z)一一1+归作一些探讨．1，z一0，H≠0，易得函数的值域☆一、化归为一种题型例1求函数厂(z)一的值域．小结本题组是化归为一种题型——分析本题是一个“三’’型的函数，可nz+(>O，6>0)的值域问题，这种题以通过裂项转化为形如—nz+(n>o，6型在高中数学

2、求最值、求值域时经常出现，>0)的函数，然后再利用基本不等式求‘”“”、、“”型的函数经常可值域．以往—nz+(n>0，6>o)或．yzCt~-勰厂()一一z+，易得值域(n>0．6>0)卜转化．为(一。。，一2]【Jr2，+C×3)．二、化归为一种方法变茸求函数厂(z)一的值域．例2已知函数厂(z)一(号)一，若分析本题是一个“三’’型的函数，可z∈EO，2]，使得_厂(z)<0，求实数m的取值范围．以借助裂项转化为“三”型的函数，而分析这是“能成立”问题，我们可以采“三裴”型的函数义可以转化为“三”的函用变量分离的方法进行处理，这样就可以转_麓⋯∞州删c

3、~tio化为求确定函数的最值分析抓住“任意”、“存在”等字眼，我们可以尝试回忆一下，发现与函数的定义表解若z∈[0，2]，厂()一()～m述类似，而学习函数时，我们曾借助图形语言理解：<口()<．令(．z)一(虿1)，z∈[o，2]，()的值域是[扣]，则}．变式已知函数f(z)一z，g(z)一而本题是“已知任意zE[2，4]，存在(丢)一，若对VrE[一1，3]，3z。∈yE[2，4]，使得一口成立”．r0。2]。估得()≥()，求实数m的取我们可以将方程形式转化为函数形式：值范围‘一，则本题即考查函数概念，设A一分析本题是含有两个变量的问题，仍[2，4]

4、，B一[2，4]，则就形成了一个对应，用可以采用变量分离的方法，借助变量和常量图形语言表示为：相互转化，具体操作是：先将X看成常量，z。看成变量，即可得(z)≥g(z)；再将看成变量，得f(z)≥g(z)⋯．解由题意得．／。()⋯≥g()⋯，即得11o≥÷一，即得m≥÷．由函数定义我们司以分析出函数Y一导，xEA的值域是B一[2，4]的子集．小结本题组是化归为一种方法——变量分离法，这类方法主要用在不等式恒成解由xy：a可得函数Y=a，由题意立、能成立问题中，通过变量分离可以将不等式恒成立、能成立问题转为确定函数求最知函数Y一，zE[2，4]的值域是[2，4

5、]的值的问题，而且题中参数和变量要能分离，l等≥2，分离出来的函数的最值要能容易求出．子集，所以n一8．f导≤4，☆三、化归为一种思路变式已知函数厂(z)=z+n，z∈[O，1]，函数g(z)一X。+37，zE[0，1]，若对例3对于任意zE[2，4]，存在．yE任意zE[0，1]，总存在z。∈[0，1]，使得[2，4]，使得xy-a，求实数口的值．g(x。)===-厂()成立，求实数n的取值范围．，——◆；Vc∥，￡iversity7：}ztra，z州柳矗tio竹_—-_，{一j本期话题函欺中的数学思想方’法≯l_⑩④④9@⑨。例谈函数、方程、不等式三者的

6、交融江苏省靖江高级中学李琴甬数的思想，是用运动和变化的观点，一分析和研究数学中的数量关系，运用函数的、函数的思想研究方程的解图象和性质去分析问题、转化问题，从而使例1方程(一i)In一1t(0，+)问题获得解决；函数图象与、r轴的交点横坐内解的个数为．标(数的零点)即为对应方程的根，于是可以运用方程思想，在动中求静，运用方程的分析从方程的角度来思考，(一·一1)·ln===l在(0，+oo)内解的个数很难求，于是性质去分析、转化问题，从而研究运动中的1等鞋关系．然而相等和不等往往是对立又统我们可以将方程进行变形，如ln一一，这tl一的．这点在函数的统领下，得

7、到了体现，样就可以将原方程解的个数转化为函数许多不等式的背后都隐藏着几何的含义，借()：ln：r，∈(0，+C>O)的图象与函数g()1助数的思想，我们可以给予这些看似抽象一—，．17∈(0，+。3)的图象交点的个数，而．Z1的不等式合理的几何解释，从而全面地认识这两个函数是我们熟悉的．当然，这样的变并解决它．式方法不唯一，也可以变形为lnz—ln-丁+l路，即值域的包含关系进行求解，我们知道高分析本题仍可以用同例3的思路分考题有很多都来源于课本，在分析以上问题析得m：数．／(．i／’)的值域是函数g()值域的过程中我们借助了一些熟悉的概念⋯函的子集．数定义

8、和子集的定义，使得一些本来较难理解函数_，(一·)一