转化与化归思想

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1、转化与化归思想等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变．由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型．►　探究点一高维与低维的

2、转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，如从点研究线，由线到面，由面再到空间．通过降维可以把问题从一个领域带到另一个领域研究，从而使问题简单化．如立体几何中三维问题转化为平面几何的二维问题，多元问题转化为一元问题进行研究等．例(1)如图30－1，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．图30－1(2)若不等式＋≥对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，＋∞)，则正整数m只能取________．►　探究点二特殊与一般的转化所谓特殊化的

3、策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究，拓宽解题的思路，从而发现解答原题的方向或途径，即“由一般退回特殊，再由特殊推广至一般”．例2已知椭圆＋＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为________．►　探究点三陌生与熟悉的转化化陌生为熟悉，即当我们面临一个没有接触过的问题时，要设法把它转化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有知识、经验或解题模式解出原题．一般

4、来说对题目的熟悉程度取决于对题目自身结构的认识和理解．常用转化途径有：(1)充分联想、回忆基本知识和题型；(2)全方位、多角度地分析题意；(3)恰当构造辅助元素．例3若关于x的方程x4＋ax3＋ax2＋ax＋1＝0有实数根，求实数a的取值范围．变式设x，y为正实数，a＝，b＝p，c＝x＋y.(1)如果p＝1，则是否存在以a，b，c为三边长的三角形？请说明理由；(2)对任意的正实数x，y，试探索当存在以a，b，c为三边长的三角形时p的取值范围．例[2011·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是____

5、____．例设实数x，y满足则u＝－的取值范围是________．例设A1、A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得·＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．►　探究点四　函数中的分类讨论问题函数的基本概念和基本性质中本身涉及分类讨论的问题并不多，但是有一类带有参数的函数即动态函数问题中，其单调性的求解、值域的研究、零点问题等往往都需要对参数的取值进行划分后，分成不同情况进行研究．例1已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最

6、小值．