十、转化与化归思想

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1、我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考屮占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归.转化与化归思想，指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想•利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化•，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题•数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，儿乎所有问题的解决都离不开转化与化归.在其他

2、的数学思想屮明显体现了转化与化归的思想，比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化.一、常见的转化与，化归的形式常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数，学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等.二、常见的转化策略常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转•化、相等与不等的转化、空I'可与平面的转化、数学语言之I'可的转化等.三、常见的实现转化与化归的方法:1.直接转化法：把原问题直

3、接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题.2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化.3.数形结合法，即数与形的转化.将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.例如在函数与图象的联系中对以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决4.特殊化方法：即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.5.补集法，即正与反的相互转化.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨，使问题获解.6.等，价转化法：把原问题转化

4、为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条•件，达到化归的目的.7.加强命题法：原命题难以得证，将原命题结论加强，变成一个原命题的充分条件.例如证明兀＞1,那么如果能证明出兀＞4,就必然会得到了，因为兀＞4是兀＞1的充分条件.四、以下对策略中常量与变量的转化、等与不等的转化举例看看：1・常量与变量的转化：在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将•其看做是“主元"，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的冃的.例：设y为实数，关于X的方程4尸+4与+兀+6=0有解，贝打的取值范围是.分析:把4v2+4心+兀+5

5、=0看作是关于的二次方程,则利用理。求解％的范围一/.A=(4x)2-42(x+6)＞0,{xx＜-2或空3}.2•等与不等的转化：相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果.例：已知都是实数，且骚_严+弭1—/=1求证：/+/异=].分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求。与方之间的关系・解「・・朋孔丄心2方ttr出—X22•

6、•+乃Jl-a，<1-又aJ1-方亠+b』-a亠=1，a=山-b亠且方=J1-a亠艮卩a~+b亠=】•以下给出几道练习题，来看看解题中的转化.练习题：1.【2015广东理，5]平行于直线2x+y+=0且与圆%2+/=5相切的直线的方程是（）人.2/+歹+5=0或2兀+），-5=0B.2%+歹+厉=0或2兀+歹-亦=0C.2x-y+5=0^2x-y-5=0D.2x-y+^5=0^2x-y-^5=0提示：根据题意，将求直线方程问题转化为点到直线距离的问题.2.[2015湖南理，8】已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且A〃丄BC,若点

7、P的坐标为（2,0）,则PA^PB+Pd的最大值为（）A.6B.70.8D.9提示：利用向量的坐标，把向量的模的最值问题转化为相应代数式的最值问题.3.已知兀ywR且2"+3v>2一〉'+3二那么（）A.x+y<0B.x+y>0C.<0D.Ay>0提示：通过构造函数，把不等式问题化归为函数单调性问题.4•在球面上有四个点只如果PA,PB,PC两两互相垂直，如图所示，且PB=PC=a.那么A.这个球面的面积是（）B.—7ra2C.3^2D.也加4提示：类比我们熟悉的球与多面体的组合体，则可以联想到球的内接正方体.把问题转化为球的内接正方体

8、问题.5.［2015江苏，5］袋屮有形状、大小都相同的4只球，其屮1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球•颜色不同的概率为.提示：正与反的转化，本题求概