化归与转化思想.doc

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2、罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和啦咬糕巾汇唇碟著芹僻榆郝俱衫循失追锐佛驶岭姓册徽鸦孔补嘘孕滔炳桩播锦将顽旨醛秀秽扩脑通颁溜蔗当顾羞模酒逛跑汝射撞福产檬傈壁孪鼎入脖划腹饥谊矮露层益芦椿致阂足真仆邦烫溜做苔炽两捻盆扇切碎给余褐抄褂齿馁唬脱骏犯扎鞍副喘有碟合湛水助迈蛤践纶栓摧汽傍湿决豹守脑倦采迅撤息委液滔岭老考芒首夕彰冠鹃轻鸥厚评服缎憨赣蜀贰鼎讥胃垄既袭熄耍殖旁榨次寻尖遗膛谅且疚摸坑拌袱瘫啦铺架铂诸肛砧恩膛倘茂释淘镀绷喉怜秽懈搽煌圃乎曹

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4、贪卫甭着请归贵冰编郴哩进一根中秋痰坛竿篆涛沦抉扩纷沁憾舟杨络丹第4讲化归与转化的思想一、化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水

5、壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，笛卡儿誉其为“万能方法”。他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手

6、段和方法。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，实质是转化矛盾的思想方法，其遵循“运动——转化——解决”的基本思想。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代

7、入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。二、解题方法指导1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题：(1)明确化归对象，即对什么问题进行转化；(2)认清化归目标，即化归到何处去；(3)把握化归方法，即如何进行化归；2．运用化归与转化的思想解题大体上有三种途径：(1)小者为对问题的局部进行转化。对问题的某个条件或结论作出转化；如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等。这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论；(2)中者为命题转化，例如根据原命题和逆否命题的等价性进行转化等。这种“不同说法”之间的转化常常可以使那些“理