转化与化归思想的应用.doc

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1、转化与化归思想的应用题型一　特殊与一般的转化例1　已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，则f＋f＋…＋f的值为________．答案　解析　思维升华　一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．　(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则＝________.(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f＝________.答

2、案　(1)　(2)0题型二，常量与变量的转化例2，对任意的

3、m

4、≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m恒为负，则x的取值范围为________.变式练习：设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞)探究提高　在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.题型三　函数、方程、不等式之间的转化例3　若f(x)是定

5、义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2014)＝________.答案　　2014解析　(2)∵f(x＋1)≤f(x＋3)－2≤f(x)＋3－2＝f(x)＋1，f(x＋1)≥f(x＋4)－3≥f(x＋2)＋2－3≥f(x)＋4－3＝f(x)＋1，∴f(x)＋1≤f(x＋1)≤f(x)＋1.∴f(x＋1)＝f(x)＋1.∴数列{f(n)}为等差数列．∴f(2014)＝f(1)＋2013×1＝2014.　(1)若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0

6、有解，则实数a的取值范围是________．答案　(1)(－∞，－8]　2．关于的方程，给出下列四个命题：(A)①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A．0B．1C．2D．3题型四数与形的转化例4．(2014·天津)已知函数f(x)＝

7、x2＋3x

8、，x∈R.若方程f(x)－a

9、x－1

10、＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．答案　(0,1)∪(9，＋∞)解析　设

11、y1＝f(x)＝

12、x2＋3x

13、，y2＝a

14、x－1

15、，在同一直角坐标系中作出y1＝

16、x2＋3x

17、，y2＝a

18、x－1

19、的图象如图所示．由图可知f(x)－a

20、x－1

21、＝0有4个互异的实数根等价于y1＝

22、x2＋3x

23、与y2＝a

24、x－1

25、的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解．消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，所以09.例5.分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会

26、把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）相切于第一象限时，u取最大值题型五　正难则反的转化例3　已知三条抛物线：y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围．解　令y＝0，由解得－

27、面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．　若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围．解　如果在[－1,1]内没有值满足f(c)>0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3

28、c－a－b

29、＝1，则

30、

31、c

32、的取值范围是(　　)A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]答案　A解析　由题意，不妨令a＝(0,1)，b＝(1,0)，c＝(x，y)，由

33、c－a－b

34、＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，

35、c

36、＝可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(1,1)为圆心，以1为