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1、1.化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.2.转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其思维过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.2011年高考数学转化与化归思想3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化
2、,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用的重复性.问题规范问题原问题的解答解答问题转化已知理论、方法、技巧问题还原1.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期是（）A.B.C.D.解析B2.在直角坐标系中,O是坐标原点,动点P在直线x=3上运动,若从动点P向
3、Q点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为（）A.4B.5C.D.解析点Q的轨迹是以(-2,-2)为圆心,半径为1的圆,要使所求切线长最小,只要使圆心到直线x=3的距离最短即可.C3.设椭圆(a＞b＞0)的半焦距为c,直线l过（0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于,则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.解析直线方程为l:ax+by-ab=0,所以，变形为12e4-31e2+7=0,再解出.B4.设O是坐标原点,A(1,1),若B(x,y)满足，则取最小值时,点B的个数（）A.1B.2C.3D.无数个解析点B（x,y）满足画出可行域如
4、图阴影部分,又A(1,1),B(x,y),令=x+y=t，则由t得几何意义可知，当过圆中B1、B2两点时，t的值最小，此时tmin=3,所以取最小值时,点B的个数为2.B题型一等与不等的转化与化归【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.解方法一（看成函数的值域）∵ab=a+b+3，∴即a＞1或a＜-3,又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0.当且仅当,即a=3时取等号.又a＞3时，是关于a的单调增函数.∴ab的取值范围是［9，+∞）.方法二（看成不等式的解集）∵a，b为正数，∴ab≥9.【探究拓展】将一个等式转化成不
5、等式，是求变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.变式训练1已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m是正常数)，求b的取值范围.解方法一设三个实数为由a+b+c=m,得方法二因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac,又a+b+c=m,所以则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根,所以Δ=［-(m-b)］2-4b2≥0,题型二正与反的转化与化归【例2】试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.解由题意可知，m≠0，所以设
6、抛物线上两点关于直线y=m(x-3)对称，于是有：因为存在x1∈R使上式恒成立，即12m3+2m2+1＜0,也即(2m+1)(6m2-2m+1)＜0.因为6m2-2m+1＞0恒成立,所以2m+1＜0,所以.即当时,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称.所以当时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.【探究拓展】在进行正与反的转化时,一定要搞清楚问题的反面是什么,就本题而言,它的反面是“至少存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分”,进而将问题转化成对称问题,在解答问题时,正难则反是转化的一种有效手段.变式训
7、练2已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明“不能同时大于”包含多种情形,不易直接证明,可用反证法证明.假设三式同时大于，∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞.这与假设矛盾，故原命题正确.题型三以换元为手段的转化与化归【例3】已知函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)若g(a)=,求实数a的值,并求此时f(x)的最大值.解（1）因f(x)=2cos2x-2acosx-2a-1令t
8、=cosx,则-1≤t≤1,(2)由题意分析得:只有一种情况，所以令,其中-2＜a＜2,解得a=-1,此时,所以当cosx=1,即x=2kπ(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为5.【探究拓展】通过换元将三角
