例谈转化与化归思想中的“入口”策略

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1、当纠PF?为钝角时，点P的以F】F?为白径做-•个圆与元椭令+令=1方程联立即可解出甘士芈转化与化归思想中的“入口”策略长沙县笫三中学段贤清410148“解题想要快，转化要先行，这个道理谁都知道，可是从何处开始转化，如何找到转化的'入口’，总是让我们迷惘,真是万爭开头难……”这是一个高三学生在学习中的苦恼。下面我们就来探讨如何寻找和构建实现转化的解题“入口”。一.根据动与静的联系实施转化【例1】椭圆—+^-=1的焦点为斥，场，点P为其上的动点,横坐标的取值范围是•【入口分析】题屮运动变化的是点P,静止的是椭岡与其

2、两焦点，乙F'PF?随1〉而变化，可从锐角到钝角变化，区分锐角与钝角的中间量为直角，只要能够确定ZF}PF2为直角的位置就可以求出P的横朋标的取值范用，故只需廊定ZF}PF2为直角的位置即可。解析：•・•椭圆中a=3,b=2,c=V5,A当彳卩笃为点角时,圆相交于两点P1P2（如图1）,在椭圆位于圆内的弧上任取•一点P连F?P并延长交圆于A,连AF］和PFi,ZF{AF2为直角，・・・MM的外角令啓必为钝角。由圆#+犷=5为椭圆【评注】研究动点问题，通常通过观察动点的变化规律，找准谁动、谁静，再根据动与愉的关系确

3、定特殊位置，实现从“动”到“静”的转化，从而构想出相应的模型，实现证明和求解。【例2】如图2・1,在正三棱柱ABC—ABC冲，AB=3,AAi=4,M为AA】的中点,-只蚂蚁从BC上-点P出发，沿棱柱侧面经过棱CC倒M点去觅食，KPC=

4、BC0求：（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长;（II）求蚂蚁走过的最短路线的长度。【入口分析】题中的路径和点N的位置是“动”的，PN,为线段时路径最短；点P、M和各侧面及侧棱CG是“静”的，1与P在不同的侧而内，若能将其化归到同一个面内，就可知两点间的距离放短。解析：（I）沿

5、AA

6、将正三棱柱ABC—AiBiCi的侧面展开得一个长为9,宽为4的矩形,其对角线边长为92+42=a/97.（II）如上图2・2,将侧面BBiCiC绕棱CC】旋转120。使其与侧面AA.CiC在同一平面匕点P运动到点Pi的位置,连接MP.,则MP】就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC倒点M的最短路线，在RtAMAPi中，由勾股定理得MP12=(3+3X-)2+22=29,AMP.=V293【评注】对于儿何屮的翻折、对称问题一般通过抓住题中的动态关系，将动态问题静态化，采用Illi直互化,实现将立体问题平面化，解决问题

7、时简捷、直观。二.根据量的变与不变实施转化【例3］如图3-1,平面中两条直线厶和/2相交于点0,对于平面上任意一点M,

8、2若p、g分别是M到直线厶和厶的距离,则称有序非负实数对'（卩，9）是点M的“距离坐标”.已知常数p鼻0,qMO,给出下列命题：①若p=q=0,则“距离坐标”为（0,0）的点有且仅有1个；①若pg=0,H.p+qHO,则“距离坐标”为（p,q）的点有H.仅有2个;②若pqHO,则“距离坐标”为（p,g）的点有II仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是()A0B1C2D3【入口分析】题中的量冇变与

9、不变的关系，当点(p.q)确定后，M到玄线h、厶的距离是不变的，变化的只是位置，考査P固定，可转化为到人距离为P的点，其轨迹为两直线，qhM定也一样，再数形结合。解析：分别作与人、厶业离为p、q的直线人、人2、山、/22,由图3-2可知选(D)o①正确，此点为点0；②正确，注意到"卫为常数，由P，q中必冇一个为零，另一个非零，从而可知冇且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为P(或g)；③止确，四个交点为与直线人和距为p的两条平行线和与直线厶相距为q的两条平行线的交点。【评注】对焦点的个数研究，

10、通常要抓住题中的不变暈是什么，变屋是什么，变与不变Z间存在何关系，再由交轨、平移、对称等途径实现转化，由图形特征得出结论。【例4]若不等式兀2+/zr>4x+p-3对一切04x+p-3>・*.(x-l)p+x2-4x+3>0令g(p)=(x-+〒-4

11、x+3,•••x>3或xv—1o则要使它对00,只要有楼$二J【评注】在有儿个变量的问题中，常常有-个变元处于主要地位，我们称Z为主元，由于思维立势的影响,在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题屮的地位，就能使问题迎刃而解。实行主元与次元的转化,使问题变成关