2013届高考数学专题突破：转化与化归思想中的“入口”策略

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1、转化与化归思想中的“入口”策略“解题想要快，转化要先行，这个道理谁都知道，可是从何处开始转化，如何找到转化的‘入口’，总是让我们迷惘，真是万事开头难……”这是一个高三学生在学习中的苦恼。下面我们就来探讨如何寻找和构建实现转化的解题“入口”。一．根据动与静的联系实施转化xyO（图1）【例1】椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是.【入口分析】题中运动变化的是点P，静止的是椭圆与其两焦点，随P而变化，可从锐角到钝角变化，区分锐角与钝角的中间量为直角，只要能够确定为直角的位置就可以求出P的横坐标的取值范围，

2、故只需确定为直角的位置即可。解析：∵椭圆中a=3，b=2，c=，∴当为直角时，以F１F２为直径做一个圆与元椭圆相交于两点P１P２（如图1），在椭圆位于圆内的弧上任取一点P连F2P并延长交圆于A，连ＡF1和ＰF１，为直角，∴的外角必为钝角。由圆x2+y2=5与椭圆方程联立即可解出x1,2=，故xp∈(,)。【评注】研究动点问题，通常通过观察动点的变化规律，找准谁动、谁静，再根据动与静的关系确定特殊位置，实现从“动”到“静”的转化，从而构想出相应的模型，实现证明和求解。A1C1B1MACP1BP（图2-2）【例2】如图2-1，在正三棱

3、柱ABC－A１B１C１中，AB＝3，AA１＝4，M为AA１的中点，一只蚂蚁从BC上一点P出发，沿棱柱侧面经过棱CC１到Ｍ点去觅食，且PC=BC。A1C1B1MACBP（图2-1）求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（Ⅱ）求蚂蚁走过的最短路线的长度。【入口分析】题中的路径和点N的位置是“动”的，PN，NM为线段时路径PM最短；点P、M和各侧面及侧棱CC1是“静”的，M与P在不同的侧面内，若能将其化归到同一个面内，就可知两点间的距离最短。解析：（Ⅰ）沿AA1将正三棱柱ABC－A１B１C１的侧面展开得一个长为９，宽为４的矩形，其对

4、角线边长为.（图3-2）（图3-1） （Ⅱ）如上图2-2，将侧面BB１C１C绕棱CC１旋转120°使其与侧面AA１C１C在同一平面上，点Ｐ运动到点Ｐ１的位置，连接MP１，则MP１就是由点Ｐ沿棱柱侧面经过棱CC１到点Ｍ的最短路线，在Ｒt△MAP１中，由勾股定理得MP１2=（３＋3×）2+22=29，∴MP１=【评注】对于几何中的翻折、对称问题一般通过抓住题中的动态关系，将动态问题静态化，采用曲直互化，实现将立体问题平面化，解决问题时简捷、直观。二．根据量的变与不变实施转化【例3】如图3-1，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意

5、一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是（）A0B1C2D3【入口分析】题中的量有变与不变的关系，当点（p,q）确定后，M到直线l1、l2的距离是不变的，变化的只是位置，考查p固定，可转化为到l1距离为p的点，其轨迹为两直线，q固定也一样，再数形结合。解析：分别作与

6、l1、l2距离为p、q的直线l11、l12、l21、l22，由图3-2可知选（D）。①正确，此点为点O；②正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）；③正确，四个交点为与直线l1相距为的两条平行线和与直线l2相距为的两条平行线的交点。【评注】对焦点的个数研究，通常要抓住题中的不变量是什么，变量是什么，变与不变之间存在何关系，再由交轨、平移、对称等途径实现转化，由图形特征得出结论。【例4】若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。【入口分析】题中p的范

7、围是不变的是已知的，的范围为所求，其值是变化的，随p的变化，的范围也发生了相应的变化，故可整理构建关于p的函数g(p)，以为参数，转化为[0，4]上g(p)与0的大小关系进行求解。解析：令，则要使它对均有，只要有或。【评注】在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。实行主元与次元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现

8、了从高维向低维转化，解题简单易行。三．根据数式与图形的结构特征实施转化【例5】设u,v∈R，且

9、u

10、≤,v＞0,则(u－v)2+()2的最小值为.【入口分析】从数式的形与构来看于两点间的距离公式的平方同构，可视为两点间的距离的平方即可找到解题入口。