【精品】数值分析复习题.doc

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1、数值分析复习题(2007)(参考答案)第二章线性方程组的数值解法1、对下述方程组直接应用Gauss-Seidel法求解是否收敛？如果不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。5x}-1lx2+x3=18-%)+4x3=612xy+x2-x3=9解:由系数矩阵A,得到Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵,(121%—%］由0知,故此格式不收敛。%一2%>14%3%丿将原方程组调蔡为,12兀］+兀2_兀3=95兀

2、-11花+禺=18,系数矩阵严格对角占•优，迭代法收敛。—兀］+x2+4兀3=62、设Aw册“非奇异，bwR“,awR,qhO,给出迭代格式严)=严+讹_卅))(1)

3、证明：若按上述迭代格式生成的序列｛兀⑷｝是收敛的，则必收敛于方程组Ax=b之解;(2)已知A=，问Q如何取值可使上述迭代格式生成的序列｛*")｝收敛,<3U何值时收敛最快。证明：(1)设｛尢⑹｝收敛至并假设T不&Ax=bZ解，由迭代格式知，/=/+a｛b-Ax｝,得Ax=b,由假设，F不是Ax=bZ解，故Ax^b,矛盾，故得证，原结论成立。(2)由迭代格式知，x(k^=(I-aA)x｛k)+ah,得—则有

4、2/-M

5、=

6、27-Z+aA

7、=0,即

8、(2-l)/+aA

9、=0,2-11-/11—At，亠"32]I+A=0,即IA-0,即为A的特征值，由4—<12丿aaa故知,4的特征

10、值为：入(4)=1,入(A)=4,故M的特征值为：&=1一。，入=1一4©,R(m)

11、=

12、i—水1111,，解得0

13、入=-4a

14、vl22再由M的特征值为：&=l—a,^=1-4(7,以及Q的范帼，有结论：23解得，当Q二—时，/?(M)=max[/?(M)]=-ln-,此时收敛最快。50』523、设AwRg是一个对称正定矩阵，人(&)〉0分别是它的最大(小)的特征值，建立迭代法xk+}=(/-a)A)xk+cobk=0,l,2--.求出⑵的范围使迭代法收敛。求出最好的"使得迭代法有最大的渐进收敛速度。解：由迭代格式兀如)=(/-。4

15、)*)+砂，得M=/-o4,令2为M任意特征值，贝I」有2-1故—/+A=0,3-2即——1-A=0,0)

16、2Z-M

17、=

18、2/-Z+^A

19、=0,即

20、(2-l)Z+^A

21、=0,-2-2即——为4的特征值，故人<——",33要使迭代法收敛，则要满足

22、2

23、<1,即要满足0<1-2<2,n1_222故有一<人<——

24、<251-0久八由R(M)=-p(A),有_In11-

25、,11-%

26、211-％

27、1nl1,N1"粥即得25(1网)0=~~-人+兄“-ln(0入-1),0=丄-ln

28、l-^A1

29、,

30、l-6oA/,

31、<

32、

33、l-^A1

34、2一ln(l-网J,必-A+J",则max[/?(A/)]=<-In(网-V).co>一当0=—-—时，max[/?(M)]=-ln(l-a)An)=-ln(l入J=一In—~—&+人A+A,入+4当0=丄时，max[R(M)]=-In(网-1)=-ln(—-1)=-In—~—A,A,A,由于-In占二血n-In厶二盘，故—，此时迭代法有最大的渐进收敛速度。入+血入A+A,4、设A丘R“"是一个对称正定矩阵，且对角线元素为1,建立求解Ax=b的对称高斯一塞德尔迭代法如下：(7一L)x(k+l,2)=Ilxk+h(/-Il)xk+i=Lx(k+l,2)+hk=0,1

35、,2….证明该迭代法收敛。证明：对于迭代格式(/一U)xM=Lx{k+l,2)+b,迭代矩阵为B=U_UfL,设2为妨的任意特征值,兀为其对应的特征向量,则有Bd=(i_u)n,故Lx=(I-l!)Ax=A(I-l!)xf对此式两端左乘x",得到xHLx=AxH(/-Lr)x,令xHLx=p+iq(p.q为实数)，则xfliJx=p-iq由此xHAx=xH(I-L-l!)x=xHIx-xHLx-xHl!x=xHx-2p由xHLx=ZxH(I-lJ)xfW2=xHLx天h(j—U)xp+iqxHIx-xHUxp+iq由A对称正定,xHAx=xHx-2p>09^(xnx-p)2>

36、p2,则有xHx-p+iqxx-p-iq(xfx-p+q~由；l为妨的任意特征值,可知p(BJvl。同样，对于迭代格式a-D严⑵=5+b,迭代矩阵为B2=(I-L)r,有p(B2)<1.综上所述,迭代法收敛。a1Q,求出Q最大可能的取值范围使得A是对称正定的。当G在这个范a1围内时，用雅可比迭代法解Ax=h是否收敛？求出Q最大可能的取值范围使得雅可比迭代法解心二方收敛。解:要使4对称正定，则要求>0,aa>0,-10解得冷y、-1f/1-a-a-a-aM=