数值分析（精品）

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1、2.Gauss-seidel迭代法仔细研究Jacobi迭代法就会发现在逐个求兀⑹的分量时，当计算到沙⑷时，实际上前面的j_1个分量严,旷）,…，”亍）都已求得,但却被弃之不用,而仍用旧分量计算兀⑹•直观上,可以想象新计算出的分虽可能要比IU的要准确些，因此设想一旦新的分量已求出，马上就用新的分虽替代，即在%co加迭代中求铲）时用铲）,於冋）,…,U分别替代xk},球）,…，咄）,称这种方法为Gcutss-seidel迭代法,简称G-S迭代.—般地，Gauss-seidel迭代法的具体格式如H:兀$+】)=丄(_说垮)一...-alnx^}

2、+&j)anX2^}=丄(-«21XlUd)~a2nX(n}+E)Ox兀伙+l)=兀$+1)ainX(n'+bj5一％-1+仇）Y伙+1)_1(〃丫伙+1)一—~anXa卄nn其矩阵表示式为:兀(如)=D~Lx(k+i)+Ux(k)b)整理得Bg—sM兀曲）其中，BG_s=（D-LYlU,fG-s=（D_LT'b,%-s称为Gauss-seidel迭代矩阵・注：（1）Gauss一seidel的特征方程AI-Bg_s

3、=0oU（Q-L~）-U=O利用上式计算出矩阵的特征值，根据谱半径可以判别出迭代是否收敛.（2）Jacobi迭代法

4、简单且每次迭代只需作矩阵和向量的次乘法，比较适合于“平行计算”，不足之处是需要两个向聚存储空间来存储兀⑹和xa+1）；Gauss-seidel迭代只需一个向量存储空间，一旦计算出兀广⑷立即存入兀广）的位置，节省一套存储单元，这是对Jacobi迭代的改进.在某些情况下它也起到加速收敛的作用•但它是一个典型的“串行算法”，每步迭代中，必须依次计算各个解分量.（3）nJ*以证明，当系数阵4是严格对介占优或4为对称正定阵时，Gauss-seidel迭代是收敛的.更一般地，我们有：定理：设Jacobi迭代矩阵乞=0.）„为非负矩阵（即饥=0,如〉0,

5、心j），则下列关系有且只有一个成立：®p(Bj)=p(BG_s)=O②0

6、qualionsax=bfunction[y,r,n]二seidel(a,b,xO,e)disp(，GaussSeideliterationonsolvinglinearequations')D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tri1(a,-1);G二(D-L)U;f=(D-L)b;y二G*xO+f;n=l;whilenorm(y-xO,inf)>二exO=y;y=G*xO+f;n=n+l;endyr二norm(y-xO,inf)nExp3给定方程组8-11__r210-1£=411-5_兀3_3_试判别J

7、acobi迭代和Gauss-seidel迭代的收敛性，若收敛，对初值x(0)=(0,0,0)7,求满足IK+,)_x(nL-10'3的解.解：A二[8-11;210-1;11-5];b二[1;4;3];D=diag(diag(A));U=_triu(A,1);L=-tril(A,T);B=D(L+U)；G=(D-L)U;s=eig(B);t=eig(G);pl=max(abs(s))pl=0.2266p2=max(abs(t))p2=0.0640可以看出，Jacobi迭代和Gauss-seidel迭代的谱半径都小于1,因而两种算法都是收

8、敛的.但Gauss-seidel迭代的谱半径更小一些，因而比Jacobi迭代收敛速度要快.x0=[0;0;0];e=le-3;y=jacobi(A,b,xO,e)Jacobiiterationonsolvinglinearequatiorisy=0.22500.3056-0.4938r=2.8950e-004n二6y=seidel(A,b,xO,e)GaussSeideliterationonsolving1inearequationsy=0.22500.3056-0.4939r=5.2148e-0043.-其它迭代法简介对于大规模的稀疏方

9、程组，Jacobi迭代和Gauss-seidel迭代是两种基本迭代方法，并且代表了两种典型的算法：平行算法和串行算法.此外，还有一些带参数的算法，如：SO/?算法（逐次超松弛法）