经济数学基础(顾静相)teaching_07_03.ppt

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1、7.3行列式的计算根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上(或下)三角形行列式，这时行列式的值就是对角线上元素的乘积．这种方法一般称为“化三角形法”．例1计算四阶行列式．7.3行列式的计算返回1/30下一页下一页上一页上一页③　②②　①④　①解利用行列式性质，把　化为上三角形行列式，再求值．7.3行列式的计算返回2/30上一页上一页下一页下一页规定：(1)记号“”表示第行(或列)提出公因子　；(③，④)．7.3行列式的计算返回3/30上一页上一页下一页下一页(2)记号“(，)”表示第行(或列)与第　行(或列)互换.上述三种记号写在等号上面表示行变换，写出在等号下面表

2、示列变换．(3)记号“”表示第　行(或列)加上第　行(或列)的倍.7.3行列式的计算返回4/30上一页上一页下一页下一页例2计算四阶行列式．解利用行列式性质，把　化为上三角形行列式，再求值.7.3行列式的计算返回5/30上一页上一页下一页下一页(①,③)④　①②　①1③　①7.3行列式的计算返回6/30上一页上一页下一页下一页(②，③)③　②④　②2．7.3行列式的计算返回7/30上一页上一页下一页下一页小结把数字元素的行列式化为上三角形行列式的一般步骤为(1)把　变换为1(例2是通过列变换来实现的，有时也可以把第一行乘　　来实现，但要注意尽量避免将元素化为分数，否则将给后面

3、的计算增加困难．)；7.3行列式的计算返回8/30上一页上一页下一页下一页(3)从第二行依次用类似的方法把主对角线　　，　　，　，　　以下的元素全部化为零，即可得上三角形行列式．(2)把第一行分别乘　　，　　，　，　加到第2，3，　，　行对应元素上，把第一列　以下的元素全部化为零；7.3行列式的计算返回9/30上一页上一页下一页下一页注意，在上述变换过程中，主对角线上元素　　　　　　　不能为零．若出现零，可通过行交换或列交换使得主对角线上的元素不为零．降阶法：选择零元素最多的行(或列)，按这一行(或列)展开；也可以先利用性质把某一行(或列)的元素化为仅有一个非零元素，然后再按

4、这一行(或列)展开．7.3行列式的计算返回10/30上一页上一页下一页下一页例3计算四阶行列式．7.3行列式的计算返回11/30上一页上一页下一页下一页解把第一行和第三行的分数元素化为整数，即，③①7.3行列式的计算返回12/30上一页上一页下一页下一页把第三行的元素尽量化为零，然后再按第三行展开，即7.3行列式的计算返回13/30上一页上一页下一页下一页①　④7.3行列式的计算返回14/30上一页上一页下一页下一页①③3②　③．7.3行列式的计算返回15/30上一页上一页下一页下一页例4计算四阶行列式．7.3行列式的计算返回16/30上一页上一页下一页下一页7.3行列式的计

5、算解④　①③　①②　①返回17/30上一页上一页下一页下一页7.3行列式的计算．返回18/30上一页上一页下一页下一页．例5计算五阶行列式7.3行列式的计算返回19/30上一页上一页下一页下一页解因为　的转置行列式为，7.3行列式的计算返回20/30上一页上一页下一页下一页由此可得，即．由性质1，得．如果将的每一行提出公因子，得，7.3行列式的计算返回21/30上一页上一页下一页下一页．例6解方程7.3行列式的计算返回22/30上一页上一页下一页下一页③　④②　①解法一因为7.3行列式的计算返回23/30上一页上一页下一页下一页由　　　　　　　　，得　　,.所以方程的解是　　

6、　，　　　．7.3行列式的计算．返回24/30上一页上一页下一页下一页7.3行列式的计算返回25/30上一页上一页下一页下一页解法二令　　　　，即　　　，则行列式的第二行是第一行的2倍，根据推论3，行列式为零．所以　　是方程的一个解．再令　　　，则行列式的第三行是第四行的-1倍，根据推论3，行列式为零．所以是方程的另一个解．例7证明．7.3行列式的计算返回26/30上一页上一页下一页下一页证7.3行列式的计算返回27/30上一页上一页下一页下一页．7.3行列式的计算返回28/30上一页上一页下一页下一页例7的结论可以推广到一般情况，用归纳法可以证明：7.3行列式的计算返回29

7、/30上一页上一页下一页下一页．(7.3.1)7.3行列式的计算返回30/30上一页上一页下一页下一页利用性质1,行列式，可以得到(7.3.1)式的另一个结论.