经济数学基础(顾静相)teaching_13_02.ppt

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1、13.2.1一元线性回归13.2.2最小二乘法13.2.3检验与预测13.2一元线性回归分析13.2一元线性回归分析13.2一元线性回归分析变量之间存在着某种联系，但又不能用一个函数表达式确切地表示出来，变量之间的这种关系，称为相关关系．回归分析就是处理相关关系的数学方法．返回1/38下一页下一页上一页上一页，，．如何获得这两个变量之间的经验公式呢？对于有一定联系的两个变量：　与　，在试验中得到若干对数据．13.2.1一元线性回归返回2/38上一页上一页下一页下一页例1某公司研究产量与生产费用之间的关系，从公司内部随机抽取了8个部门作样本，得到数据如下：产量(千件)费用(万元)

2、77891112141656871012131513.2.1一元线性回归返回3/38上一页上一页下一页下一页将这８对数据都描绘在平面直角坐标系中，这是平面上的8个点,易见这8个点大体在一条带状区域内．故可认为　与　之间有线性关系存在，设有关系式．(13.2.1)13.2.1一元线性回归返回4/38上一页上一页下一页下一页然而这８个点并不都严格在一条直线上，对同一个　，由(13.2.1)式就确定一个　　　,它与观测值　之间存在误差，则，，2，，8.(13.2.2)13.2.1一元线性回归返回5/38上一页上一页下一页下一页其中　与　是已知的，　，　，　是未知的，为误差项，我们的

3、目的就是利用这8对数据求出　，　的值，即得到(13.2.1)式，使误差最小,使用的方法是最小二乘法．13.2.1一元线性回归返回6/38上一页上一页下一页下一页设实测值为　　　，…，　　　，则式(13.2.2)可改写为，，2，…，　．取全部误差的平方和．(13.2.3)13.2.2最小二乘法返回7/38上一页上一页下一页下一页由二元函数的极值原理，应有，．整理，．13.2.2最小二乘法返回8/38上一页上一页下一页下一页从中解出　，　的最大值点，记作　，　．．为了方便记忆，引入记号，．13.2.2最小二乘法返回上一页上一页下一页下一页9/38于是有．(13.2.5)确定　，　的

4、方法称为最小二乘法．我们把　　　的估计值记作　，于是得到回归方程(或称经验公式)13.2.2最小二乘法返回10/38上一页上一页下一页下一页，．(13.2.4)现在我们求例1中的回归直线方程．为了求出　，　，可采用列表的方法计算．13.2.2最小二乘法返回11/38上一页上一页下一页下一页12345678778911121416568710121315-3.5-3.5-2.5-1.50.51.53.55.50.07684-4.5-3.5-1.5-2.50.52.53.55.50.012.2512.256.252.250.252.2512.2530.257820.2512.252

5、.256.250.256.2512.2530.2515.7512.253.753.750.253.7512.2530.25908213.2.2最小二乘法返回12/38上一页上一页下一页下一页于是可以计算出，，．故回归直线方程为．13.2.2最小二乘法返回13/38上一页上一页下一页下一页对于任意两个变量的一组观测数据　，　　　　　，都可以用最小二乘法形式上求出回归直线方程　　　　，于是就产生下面两个问题：13.2.3检验与预测返回14/38上一页上一页下一页下一页1.回归方程　　　　　是否总有意义？即自变量　的变化是否真的对因变量　有线性影响？13.2.3检验与预测2.如果回归

6、方程　　　　有意义，则可用　来预测　的值，那么　与真实的　有多大的偏差？返回15/38上一页上一页下一页下一页(1)检验1.平方和分解将　　　称为残差(或剩余)，(回归值)+(残差)13.2.3检验与预测返回16/38上一页上一页下一页下一页记　　　　　　　，表示观测值总的变动情况，称为总变差(总变动平方和，也记为)，它可以分解成如下形式：13.2.3检验与预测返回17/38上一页上一页下一页下一页．13.2.3检验与预测上式中交叉项(考虑到)返回18/38上一页上一页下一页下一页13.2.3检验与预测(考虑到)．记　　　　　　，　　　　　　，则有　　　　　　　　　．(13.2

7、.6)返回19/38上一页上一页下一页下一页式称为平方和分解公式．13.2.3检验与预测返回20/38上一页上一页下一页下一页它描述了回归值　　　的分散程度，由公式　　　　　看出的分散性又由　　　　　　的分散性通过　对于　的线性影响反映出来，因此称　为回归平方和(也记作　)．　是残差　　　的平方和，称为残差平方和（或剩余平方和，也记为　).13.2.3检验与预测它是同一　的观测值　与回归直线上纵坐标的偏离情况,是扣除了　对　的线性影响后所剩余的平方和，它主要反映了试验误差的大小．返回21/3