经济数学基础(顾静相)teaching_04_01.ppt

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1、4.1.1原函数4.1.2不定积分4.1.3不定积分的几何意义4.1不定积分的概念1定义4.1设　　是定义在区间　　内的已知函数．如果存在函数　　，使对于任意的　　　　，都有或，则称　　是　　在　　上的一个原函数．4.1.1原函数返回1/14下一页下一页上一页上一页2不难看出　　　　，　　　　，(　为任意常数)都是　　　的原函数．例1设函数　　　　　，　　　　．由于函数　　　　　　满足，所以　　　　　　是　　的一个原函数．由此例可以看出：如果函数　　有一个原函数，则4.1.1原函数返回2/14上一页上一页下一页下一页3由此例可以看出：如果函数　　有一个原

2、函数，则　　就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数．4.1.1原函数（　为任意常数）．所以　　　　也是　　的原函数．证明如下：如果　　是　　的一个原函数，则返回3/14上一页上一页下一页下一页44.1.1原函数．则由中值定理的推论可知，　　和　　仅差一常数，即存在常数　，使得另一方面，如果　　和　　都是　　的原函数，即，一般，如果　　是　　的一个原函数，则的全部原函数就是(为任意常数)．返回4/14上一页上一页下一页下一页5定义4.2函数　　的全部原函数，称为　　的不定积分，记作．其中“”称为积分号,称为积分变量，　称为被积函数，　　　称为被积

3、表达式．4.1.2不定积分返回5/14上一页上一页下一页下一页如果　　是　　的一个原函数，则（　为任意常数）．其中　称为积分常数．64.1.2不定积分返回6/14上一页上一页下一页下一页例２求函数　　　　的不定积分．解因为　　　　　（或　　　　　　）所以（　为任意常数）．，7例3求函数　　　　的不定积分，其中　　　为常数．解因为　　　　　　　，所以（　为任意常数）．4.1.2不定积分返回7/14上一页上一页下一页下一页8解当　　　时，　　　　，所以当　　　时，　　　　　　　　　　，所以．．4.1.2不定积分返回8/14上一页上一页下一页下一页例４求函数　　　

4、　的不定积分．9可以证明：如果被积函数　　在某区间上连续，则在此区间上　　一定有原函数．4.1.2不定积分返回9/14上一页上一页下一页下一页所以．10如果　　是　　的一个原函数，则　　的不定积分　　　　　　　　．对于每一给定的常数　，　　　　表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为　　的一条积分曲线．由于　可以取任意值，因此不定积分　　　　表示　　　的一族积分曲线．4.1.3不定积分的几何意义返回10/14上一页上一页下一页下一页114.1.3不定积分的几何意义返回11/14上一页上一页下一页下一页124.1.3不定积分的几何意义返回12/14上一页上

5、一页下一页下一页例４设曲线过点（-1，2），并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．解设所求曲线方程为　　　　．过曲线上任意一点　　的斜率为，13所以，　　是　　的一个原函数，因为，故　　　　　　．又曲线　　　　过点(-１,2)，有，即　　　．于是所求曲线方程为．4.1.3不定积分的几何意义返回13/14上一页上一页下一页下一页144.1.3不定积分的几何意义返回14/14上一页上一页下一页下一页15