经济数学基础(顾静相)teaching_01_04.ppt

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1、1.4极限的性质与运算法则1.4.1极限的性质1.4.2极限的四则运算法则性质1.6（有界性）若极限　　　　　存在，则函数　　在　的某个空心邻域内有界．性质1.5（唯一性）若极限　　　　存在，则极限值唯一．1.4.1极限的性质返回1/22上一页上一页下一页下一页性质1.7（保号性）若　　　　　，且　　（或　　），则在　的某空心领域内恒有　　　（或　　　　）．1.4.1极限的性质返回2/22下一页下一页若　　　　，且在的某空心邻域内恒有　　　（或　　　）,则　（或　　）．上一页上一页定理1.3若　　　　　　，　　　　　，则(3)当　　　　　　　时，．(2)；

2、1.4.2极限的四则运算法则返回3/22下一页下一页；(1)上一页上一页因为　　　　　，　　　　　，由定理1.2有　　　　　　，　　　　　，其中　，　是同一极限过程的无穷小量，于是．1.4.2极限的四则运算法则证我们只证(1)．返回4/22下一页下一页上一页上一页上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况．根据无穷小量的性质，　　　仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可得．．1.4.2极限的四则运算法则返回5/22下一页下一页上一页上一页推论设　　　　存在，　为常数，为正整数，则有1.4.2极限的四则运算法则(2)　　　　　　　　　．(1)　　　

3、　　　　　　　；返回6/22下一页下一页上一页上一页在使用这些法则时，必须注意两点：1.4.2极限的四则运算法则返回7/22下一页下一页上一页上一页(1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在．(2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零．例1求　　　　　　　．解．1.4.2极限的四则运算法则返回8/22下一页下一页上一页上一页例2求　　　　　　　　　　　　　　．解．1.4.2极限的四则运算法则返回9/22下一页下一页上一页上一页可见多项式　　　当　　　时的极限值就是多项式　　在　处的函数值，即例3求　　　　　　　．1.4.2极限的四则运算法则

4、返回下一页下一页上一页上一页．（1.4.1）10/221.4.2极限的四则运算法则．因为　　　　　　　　　　　，解先求分母极限．返回11/22下一页下一页上一页上一页所以一般地，当　　　　　　时，有例4求　　　　　　．1.4.2极限的四则运算法则返回12/22下一页下一页上一页上一页．（1.4.2）解先求分母的极限．1.4.2极限的四则运算法则返回13/22下一页下一页上一页上一页先考虑原来函数倒数的极限.,即　　　　　是　　　时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到．例5求　　　　　　　．1.4.2极限的四则运算法则返回14/22下一页下一页上一页上

5、一页解先求分母极限．．1.4.2极限的四则运算法则返回15/22下一页下一页上一页上一页,再求分子极限．消去公因子，再求极限．注意：因为　　　　　　，所以不能写成．例6求　　　　　　　．1.4.2极限的四则运算法则返回16/22上一页上一页下一页下一页解．1.4.2极限的四则运算法则返回17/22上一页上一页下一页下一页例7求．解因为　　　　　　　　　　　　　　，1.4.2极限的四则运算法则返回18/22上一页上一页下一页下一页．所以一般地，当　　　时，有理分式的极限有以下结果：，（1.4.3），．1.4.2极限的四则运算法则返回19/22上一页上一页下一页下

6、一页例8求下列极限：（1）　　　　　　　；（2）　　　　　　　；（3）　　　　　　　　．1.4.2极限的四则运算法则返回20/22上一页上一页下一页下一页解（1）因为　　　，所以．（2）因为　　　，所以．1.4.2极限的四则运算法则返回21/22上一页上一页下一页下一页（3）因为　　　，所以极限值应为分子、分母最高次项系数之比．即．1.4.2极限的四则运算法则返回22/22上一页上一页下一页下一页