经济数学基础(顾静相)teaching_09_01.ppt

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1、9.1消元法设含有个未知量、有个方程式组成的方程组，，，（9.1.1）9.1消元法返回1/40下一页下一页上一页上一页其中系数　，常数　都是已知数，是未知量(也称为未知数)．当右端常数项，，，不全为0时，称方程组（9.1.1)为非齐次线性方程组；当时，9.1消元法返回2/40上一页上一页下一页下一页(9.1.2)，，称为齐次线性方程组．即9.1消元法返回3/40上一页上一页下一页下一页由　个数　，　，…，　组成的一个有序数组　　　　　，如果将它们依次替代方程组(9.1.1)中的　，　，…，　后，(9.1.1)中的每个方程都变成恒等

2、式，则称这个有序数组均为方程组(9.1.1)的一个解．9.1消元法返回4/40上一页上一页下一页下一页显然由　　　，　　，…，　　组成的有序数组　　　　　是齐次线性方程组(9.1.2)的一个解，称之为齐次线性方程组(9.1.2)的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解．9.1消元法返回5/40上一页上一页下一页下一页非齐次线性方程组(9.1.1)的矩阵表示形式为9.1消元法(9.1.3)称　为方程组(9.1.1)的系数矩阵，　未知矩阵，　为常数矩阵．返回6/40上一页上一页下一页下一页，其中，，，将系数矩阵　和常数矩阵　放在一起构成的

3、矩阵9.1消元法称为方程组(9.1.1)的增广矩阵．返回7/40上一页上一页下一页下一页齐次线性方程(9.1.2)的矩阵表示形式为，其中．9.1消元法返回8/40上一页上一页下一页下一页例1写出线性方程组，，的增广矩阵　　　和矩阵形式．9.1消元法返回9/40上一页上一页下一页下一页．解增广矩阵为方程组的矩阵形式是　　　　，即．9.1消元法返回10/40上一页上一页下一页下一页定理9.1如果用初等行变换将增广矩阵化成　　，则方程组　　　与是同解方程组．9.1消元法返回11/40上一页上一页下一页下一页证由定理8.1可知，存在初等矩阵　，，使，记　　　　　

4、　，则　可逆，即　存在．，设　为方程组　　　　的解，即，即，在上式两边左乘　，得9.1消元法返回12/40上一页上一页下一页下一页说明　也是方程组　　　　的解．在上式两边左乘　，得，即，说明　也是方程组　　　　的解．由此可知，方程组　　　　与的解相同，即它们是同解方程组．9.1消元法．反之，设　为方程组　　　　的解，即返回13/40上一页上一页下一页下一页消元法(高斯消元法)：用初等行变换将方程组(9.1.1)的增广矩阵　　　化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所代表的方程组，逐步回代，求出方程组的解．因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程(9.1.1)

5、组的解．9.1消元法返回14/40上一页上一页下一页下一页例2解线性方程组，．(9.1.4)，，解先写出增广矩阵　　　，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即9.1消元法返回15/40上一页上一页下一页下一页②　①(-1)④　①2③　①(-3)9.1消元法返回16/40上一页上一页下一页下一页④③9.1消元法返回17/40上一页上一页下一页下一页③　②④②(-1)最后一个增广矩阵表示的线性方程组为，，．将最后一个方程乘　，再将　项移至等号的右端，得，9.1消元法返回18/40上一页上一页下一页下一页将其代入第二个方程，解得，再将　，　代入第一个方程，解得

6、．因此，方程组(9.1.4)的解为其中　可以任意取值．(9.1.5)，，，9.1消元法返回19/40上一页上一页下一页下一页显然，只要未知量　任意取定一个值，如　　　，代入表示式(9.1.5)，可以得到一组相应的值：　　　　，　　　，　　，从而得到方程组(9.1.4)的一个解，，，．9.1消元法返回20/40上一页上一页下一页下一页由于未知量　的取值是任意实数，故方程组(9.1.4)的解有无穷多个．由此可知,表示式(9.1.5)表示了方程组(9.1.4)的所有解．表示式(9.1.5)中等号右端的未知量　称为自由未知量，用自由未知量表示其他未知量的表示式

7、(9.1.5)称为方程组(9.1.4)的一般解，当表示式(9.1.5)中的未知量　取定一个值(如　　),得到方程组(9.1.4)的一个解(如　　　　，　，　　　，)，称之为方程组(9.1.4)的特解．9.1消元法返回21/40上一页上一页下一页下一页注意，自由未知量的选取不是唯一的．如例2也可以将　取作自由未知量．即在，，中将最后一个方程乘　，再将　项移至等号的右端，得，9.1消元法返回22/40上一页上一页下一页下一页将其代入第二个方程，解出　后，再将，代入第一个方程，解出　．最后可得方程组(9.1.4)的一般解为其中　是自由未知量．(9.1.6

8、)，，，9.1消元法返回23/40上一页上一页下一页下一页如果将表