高等数学下册 教学课件 作者 蒋国强第11章D11_2一阶微分方程.ppt

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1、一阶微分方程第二节一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程第十一章机动目录上页下页返回结束两边积分可分离变量方程的形式及解法：如果可以写成则目的：dx与dy拆开，且保证dx前面是一个dy前面是一个仅与y仅与x有关的函数，有关的函数实现两个变量的分离机动目录上页下页返回结束一、可分离变量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为机动目

2、录上页下页返回结束例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束例4:解：分离变量即(C<0)(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过

3、程中丢失了.机动目录上页下页返回结束例3.积分得故有得(抛物线)机动目录上页下页返回结束三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为线性非齐次方程.方程的特点：称为线性齐次方程;机动目录上页下页返回结束关于未知函数的部分、都是一次方、幂的形式如：是不是1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为机动目录上页下页返回结束当C任取常数时，函数只能是齐次方程的解，要想得到非齐次方程的解，设想将常数C换成x的函数C(x)而成为非齐次方程的解目的是确定函数C(x)的具体形式对应齐次方程通解2.解非齐次方程常数变易法则故原方程的通解即设两端积分得机动目录上页下页返

4、回结束是非齐次方程的解，这种将齐次方程通解中的常数C换成x的函数而求得非齐次方程通解的方法称为由非齐次方程通解的公式：齐次方程通解非齐次方程特解即机动目录上页下页返回结束记作：例1.解方程解:故原方程通解为机动目录上页下页返回结束例2.求方程解:机动目录上页下页返回结束的特解由得，特解：例3.求方程的通解.解:所求通解为这是以x为未知函数，y为自变量的一阶线性非齐次方程机动目录上页下页返回结束即例4.判别下列方程类型:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程机动目录上页下页返回结束内容小结1.可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数.机动目录上页下页返回结束2.一阶线

5、性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动目录上页下页返回结束作业P1681(3),(4),(5)；4；5(1),(3),(5),(6)；6(1),(2),(4)；7.第三节目录上页下页返回结束