高等数学下册 教学课件 作者 蒋国强第11章D11_4二阶线性微分方程.ppt

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1、二阶常系数非齐次线性方程第四节二、三、第六章机动目录上页下页返回结束一、线性非齐次方程解的结构二阶常系数线性非齐次方程的一般形式:称①机动目录上页下页返回结束一、二阶常系数线性非齐次方程解的结构②为相应于非齐次方程的齐次方程。定理：设是非齐次方程①的一个解，而是所相应的齐次方程②的解，则仍然是非齐次方程①的解。第一步：根据f(x)的形式,第二步：代入原方程以确定函数表达式中的待定系数.—待定系数法机动目录上页下页返回结束如果是所相应的齐次方程②的通解则由上述定理得非齐次方程①通解的结构。定理：是非齐次方程①的一个特解，而是所相应的齐次方程②的

2、通解，则成为非齐次方程①的通解。设求特解的方法的函数形式；确定二、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为已知的m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即即机动目录上页下页返回结束小结对方程不是特征根可设特解机动目录上页下页返回结束其中为已知的m次多项式。是特征单根是特征重根其中为待定的m次多项式。例1.的一个特解.解:本题特征方程为不是特征方程

3、的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得所求特解为机动目录上页下页返回结束写全一个二次多项式例2.的通解.解:本题特征方程为特征根对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束三、机动目录上页下页返回结束对非齐次方程可设特解其中不是特征根是特征单根例3.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束例4.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此

4、设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束（其中为实数).例5.求微分方程的通解解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为机动目录上页下页返回结束作业P3651(3,4,7);2(4)机动目录上页下页返回结束