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1、课程编号：MTH17006北京理工大学2010-2011学年第二学期《微积分A》期中试题一、填空题（每小题4分,共20分）1.过点M,3(−,2−)1和y轴的平面方程为.0zr2.设u=xarctan,点M0,1(−2,2),l=,1,1{−1}.则梯度gradu
2、M=.y0∂u方向导数r
3、=.M0∂l132y3.交换累次积分次序I=∫dx∫edy=，积分值I=.03x22r04.曲面z=x+2y在点M)3,1,1(处的单位法向量n=，0法线的标准方程为：.33⎧2x−y⎪xy−,(x,y)≠)0,0(5.设f(x,y)=⎨x2
4、+y2，则f′)0,0(=，x⎪⎩,0(x,y)=)0,0(f′)0,0(=.yrrr二、（8分）已知向量a=1,1,1{},b=,2,1{−2},c=,3{−}4,5，rrrrrrrrrrr（1）求向量d=(a⋅c)b+(a⋅b)c；（2）求d在a上的投影；（3）求a×d.三、(8分)设z=f(xy,yg(x)),其中f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且2∂z∂z在x=1处取得极值g)1(=,1求,.∂x∂x∂yx=1y=122四、(8分)在极坐标系下计算二重积分I=∫∫(2x+y)dxdy，其中区域D22D:x≤x+y
5、≤2x.1223五、(8分)求函数f(x,y)=x−4xy−2y+y的极值，并判别是极大值还是极小值.六、（8分）计算I=∫∫∫xdxdydz，其中Ω是由三坐标面x=,0y=,0z=0及平面Ωx+2y+z=1所围成的有界闭区域.x−1y2−z七、（8分）设直线L过点M,1(−)2,1，并与直线L:==垂直相交，12−11求直线L的参数方程.222八、（8分）设f(x)连续，F(t)=∫∫∫[f(x+y)+z]dV，其中V222dFV:x+y≤t(t>0),0≤z≤2，试把F(t)表示为定积分，并求.dtzz九、（8分）设方程F(
6、x+,y+)=0确定函数z=z(x,y)，其中F可微，yx∂z∂z求x+y及dz∂x∂y333十、（8分）试利用球坐标计算三重积分I=∫∫∫(x+y+z)dxdydz，其中Ω是由Ω2222曲面z=(3x+y)和曲面z=2+4−x−y围成的几何体.十一、（8分）横截面为长方形的半圆柱形的张口容器，使其表面积等于，当S容器的长度h与断面半径R各为多少时，有最大容积？2
