2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式讲义（含解析）新人教A版选修4-5

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1、1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有

8、a＋b

9、<

10、a

11、＋

12、b

13、，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a，b共线，当a与b同向时，

14、a＋b

15、＝

16、a

17、＋

18、b

19、，当a与b反向时，

20、a＋b

21、<

22、a

23、＋

24、b

25、.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则

26、

27、a

28、－

29、b

30、

31、≤

32、a±b

33、≤

34、a

35、＋

36、b

37、.(2

38、)定理2：如果a，b，c是实数，那么

39、a－c

40、≤

41、a－b

42、＋

43、b－c

44、.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

45、a－c

46、＝

47、a－b

48、＋

49、b－c

50、.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，

51、a－c

52、＝

53、a－b

54、＋

55、b－c

56、；②点B不在A，C上时，

57、a－c

58、<

59、a－b

60、＋

61、b－c

62、.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．含绝对值不等式的判断与证明[例1]　已知

63、A－a

64、<，

65、B－b

66、<，

67、C－c

68、<.求证：

69、(

70、A＋B＋C)－(a＋b＋c)

71、

72、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

73、＝

74、(A－a)＋(B－b)＋(C－c)

75、≤

76、(A－a)＋(B－b)

77、＋

78、C－c

79、≤

80、A－a

81、＋

82、B－b

83、＋

84、C－c

85、.因为

86、A－a

87、<，

88、B－b

89、<，

90、C－c

91、<，所以

92、A－a

93、＋

94、B－b

95、＋

96、C－c

97、<＋＋＝s.含绝对值不等式的证明题两种类型及解法(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式

98、

99、a

100、－

101、b

102、

103、≤

104、a±b

105、≤

106、a

107、＋

108、b

109、，通过适当的添、拆

110、项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．以下四个命题：①若a，b∈R，则

111、a＋b

112、－2

113、a

114、≤

115、a－b

116、；②若

117、a－b

118、<1，则

119、a

120、<

121、b

122、＋1；③若

123、x

124、<2，

125、y

126、>3，则<；④若AB≠0，则lg≥(lg

127、A

128、＋lg

129、B

130、)．其中正确的命题有(　　)A．4个　　　　　　　B．3个C．2个D．1个解析：选A　∵

131、a＋b

132、＝

133、(b－a)＋2a

134、≤

135、b－a

136、＋2

137、a

138、＝

139、a－b

140、＋2

141、a

142、，∴

143、a＋b

144、－

145、2

146、a

147、≤

148、a－b

149、，①正确；∵1>

150、a－b

151、≥

152、a

153、－

154、b

155、，∴

156、a

157、<

158、b

159、＋1，②正确；∵

160、y

161、>3，∴<.又∵

162、x

163、<2，∴<，③正确；2＝(

164、A

165、2＋

166、B

167、2＋2

168、A

169、

170、B

171、)≥(2

172、A

173、

174、B

175、＋2

176、A

177、

178、B

179、)＝

180、A

181、

182、B

183、，∴2lg≥lg

184、A

185、

186、B

187、.∴lg≥(lg

188、A

189、＋lg

190、B

191、)，④正确．2．已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.证明：①若

192、a

193、>

194、b

195、，左边＝＝≥＝.∵≤，≤，∴＋≤.∴左边≥＝右边．②若

196、a

197、<

198、b

199、，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若

200、a

201、＝

202、b

203、，原不等式显然

204、成立．综上可知原不等式成立.绝对值三角不等式的应用[例2]　(1)求函数y＝

205、x－3

206、－

207、x＋1

208、的最大值和最小值．(2)如果关于x的不等式

209、x－3

210、＋

211、x－4

212、＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．[思路点拨]　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解]　(1)法一：

213、

214、x－3

215、－

216、x＋1

217、

218、≤

219、(x－3)－(x＋1)

220、＝4，∴－4≤

221、x－3

222、－

223、x＋1

224、≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝

225、x－3

226、－

227、x＋1

228、＝∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)只要

229、a不大于

230、x－3

231、＋

232、x－4

233、的最小值，则

234、x－3

235、＋

236、x－4

237、＜a的解集为空集，而

238、x－3

239、＋

240、x－4

241、＝

242、x－3

243、＋

244、4－x

245、≥

246、x－3＋4－x

247、＝1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．∴当3≤x≤4时，

248、x－3

249、＋

250、x－4

251、取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且

252、a

253、≤3，

254、b

255、≤2，则

256、a＋b

257、的最大值是____

258、____，最小值是________．解析：∵

259、a

260、－

261、b

262、≤

263、a＋b

264、≤

265、a

266、＋

267、b

268、，∴1＝3－2≤

269、a＋b

270、≤3＋2＝5.答案：5　14．已知定义在R上的函数f(x)＝

271、x＋1

272、＋

273、x－5

274、的最小值为a，求a的值．解：因为

275、x＋1

276、＋

277、x－5

278、≥

279、(x＋1)－(x－5)

280、＝6，当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.5．若对任意实数，不等式

281、x＋1

282、