2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 2 绝对值不等式的解法讲义（含解析）新人教A版选修4-5

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1、2．绝对值不等式的解法　　1．

2、ax＋b

3、≤c，

4、ax＋b

5、≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成

6、x

7、≤a，

8、x

9、≥a(a>0)型不等式求解．

10、ax＋b

11、≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式

12、ax＋b

13、≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．

14、x－a

15、＋

16、x－b

17、≥c和

18、x－a

19、＋

20、x－b

21、≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．(

22、2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．

23、f(x)

24、≥g(x)和

25、f(x)

26、≤g(x)型不等式的解法　[例1]　解下列不等式：(1)1<

27、x－2

28、≤3；(2)

29、2x＋5

30、>7＋x；(3)≤.[思路点拨]　(1)可利用公式转化为

31、ax＋b

32、>c(c>0)或

33、ax＋b

34、0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况

35、去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式；(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[解]　(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得－1≤x<1或3

36、2x＋5

37、>7＋x，可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)，整理得

38、x>2或x<－4.∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．(3)①当x2－2<0且x≠0，即－0时，原不等式可化为x2－2≥

39、x

40、，即

41、x

42、2－

43、x

44、－2≥0，∴

45、x

46、≥2，∴不等式的解为

47、x

48、≥2，即x≤－2或x≥2.∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－，0)∪(0，)∪[2，＋∞)．含绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如

49、f(x)

50、

51、f(x)

52、>a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①当a>0时，

53、f(x)

54、

55、f(x)

56、>a⇔f(x)>a或f(x)<－a.②当

57、a＝0时，

58、f(x)

59、

60、f(x)

61、>a⇔f(x)≠0.③当a<0时，

62、f(x)

63、

64、f(x)

65、>a⇔f(x)有意义．(2)形如

66、f(x)

67、<

68、g(x)

69、型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即

70、f(x)

71、<

72、g(x)

73、⇔[f(x)]2<[g(x)]2⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]<0.(3)形如

74、f(x)

75、

76、f(x)

77、>g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①

78、f(x)

79、

80、f(x)

81、>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题

82、用分类讨论法来解决，就显得较复杂．(4)形如a<

83、f(x)

84、a>0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a<

85、f(x)

86、

87、f(x)

88、

89、f(x)

90、>f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即

91、f(x)

92、

93、f(x)

94、>f(x)⇔f(x)<0.1．解下列不等式：(1)

95、3－2x

96、<9；(2)4＜

97、3x－2

98、＜8；(3)

99、x2－3x－4

100、>x＋1.解：(1)∵

101、3－2x

102、<9，∴

103、2x－3

104、<9.∴－9<2x－3<9.即－6<2x<12.解得－3

105、.∴原不等式的解集为{x

106、－3

107、3x－2

108、＜8，得⇒⇒∴－2＜x＜－或2＜x＜.∴原不等式的解集为.(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.解得x>5或x<－1或－1

109、x－a

110、＋

111、x－b

112、≥c和

113、x－a

114、＋

115、x－b

116、≤c型不等式的解法　　[例2]　解不等式

117、x＋7

118、－

119、x－2

120、≤3.[思路点拨]　解该不等式，可采用三种方法：(1