2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式学案 新人教A版选修4-5

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1、1．绝对值三角不等式　1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.　2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题．,　　　　　　　　[学生用书P13])1．绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：

2、a

3、＝.(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值

4、a

5、表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离

6、OA

7、.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数a，b，则

8、AB

9、＝

10、a－b

11、．2．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则

12、a＋b

13、≤

14、a

15、＋

16、b

17、，当且仅当ab≥0时，等号成立．推论1：如果a，b是实数，那么

18、a

19、－

20、b

21、≤

22、a－b

23、≤

24、a

25、＋

26、b

27、.推论2：如果a，b是实数，那么

28、

29、a

30、－

31、b

32、≤

33、a＋b

34、≤

35、a

36、＋

37、b

38、.定理2：如果a，b，c是实数，那么

39、a－c

40、≤

41、a－b

42、＋

43、b－c

44、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)

45、a

46、的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．(　　)(2)

47、a＋b

48、≤

49、a

50、＋

51、b

52、，当且仅当a＝b时等号成立．(　　)(3)

53、a

54、－

55、b

56、≤

57、a＋b

58、，当且仅当a＝－b时等号成立．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×2．给出下列命题：①若a＞b，则

59、a

60、＞b；②若a＞b，则a2＞b2；③若

61、a

62、＞b，则a＞b；④若a＞

63、b

64、，则a＞b.其中真命题的个数是(　　)A．

65、1　B．2C．3D．4解析：选B.容易验证①④正确，②③错误，故选B.3．函数y＝

66、x－4

67、＋

68、x－6

69、的最小值是________．解析：y＝

70、x－4

71、＋

72、x－6

73、≥

74、(x－4)－(x－6)

75、＝2，当且仅当4≤x≤6时，“＝”成立，所以ymin＝2.答案：2　利用绝对值三角不等式证明不等式[学生用书P13]　已知f(x)＝x2－2x＋7，且

76、x－m

77、＜3，求证：

78、f(x)－f(m)

79、＜6

80、m

81、＋15.【证明】　

82、f(x)－f(m)

83、＝

84、(x－m)(x＋m－2)

85、＝

86、x－m

87、·

88、x＋m－2

89、＜3

90、x＋m－2

91、≤3(

92、x

93、＋

94、m

95、＋2)．又

96、x－m

97、＜3，所以－3＋m＜x＜3＋m.所以3

98、(

99、x

100、＋

101、m

102、＋2)＜3(3＋

103、m

104、＋

105、m

106、＋2)＝6

107、m

108、＋15.所以

109、f(x)－f(m)

110、＜6

111、m

112、＋15.两类含绝对值不等式问题的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用

113、

114、a

115、－

116、b

117、

118、≤

119、a±b

120、≤

121、a

122、＋

123、b

124、，通过适当的添、拆项证明．　另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．　1.设a，b∈R，ε>0，

125、a

126、<，

127、b

128、<ε.求证：

129、4a＋3b

130、<3ε.证明：因为

131、a

132、<，

133、b

134、<ε.所以

135、4a＋3b

136、≤

137、4a

138、＋

139、3

140、b

141、＝4

142、a

143、＋3

144、b

145、<4·＋3·＝3ε.2．设函数f(x)＝＋

146、x－a

147、(a＞0)，证明：f(x)≥2.证明：由a＞0，得f(x)＝＋

148、x－a

149、≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.　利用绝对值三角不等式求函数的最值[学生用书P14]　(1)求函数f(x)＝

150、x－1

151、＋

152、x＋1

153、的最小值；(2)求函数f(x)＝

154、x－1

155、－

156、x＋1

157、的值域．【解】　(1)因为

158、x－1

159、＋

160、x＋1

161、＝

162、1－x

163、＋

164、x＋1

165、≥

166、1－x＋x＋1

167、＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号，所以当－1≤x≤1时，函数f(x)＝

168、x－1

169、＋

170、x＋1

171、取得最小值2.(2)因为

172、

173、x－1

174、－

175、x＋

176、1

177、

178、≤

179、(x－1)－(x＋1)

180、＝2，当且仅当(x－1)(x＋1)≥0，即x≥1或x≤－1时取等号，即－2≤

181、x－1

182、－

183、x＋1

184、≤2，当x≥1时函数取得最小值－2，当x≤－1时，函数取得最大值2，当－1＜x＜1时，－2＜

185、x－1

186、－

187、x＋1

188、＜2，故函数f(x)的值域为[－2，2]．求f(x)＝

189、x＋a

190、＋

191、x＋b

192、和f(x)＝

193、x＋a

194、－

195、x＋b

196、的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解．(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值．(3)利用绝对值的几何意义求解．　　对任意x，y∈R，

197、x－1

198、＋

199、x

200、

201、＋

202、y－1

203、＋

204、y＋1

205、的最小值为(　　)A．1　　B．2　　　　C．3　　D．4解析：选C.因为x，y∈R，所以

206、x－1

207、＋

208、x

209、≥

210、(x－1)－x

211、＝1，

212、y－1

213、＋

214、y＋1

215、≥

216、(y－1)－(y＋1)

217、＝2，所以

218、x－1

219、＋

220、x

221、＋

222、y－1

223、＋

224、y＋1

225、≥3.所以

226、x－1

227、＋

228、x

229、＋

230、y－1

231、＋

232、y＋1

233、的最小值为3.　绝对值三角不等式的综合应用[学生用书P14]　设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．(1)若

234、a

235、≤1，求

236、f(x