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1、引入风险的矩阵对策最优策略研究尹向飞121.湖南商学院信息系湖南长沙4102052.南开大学经济学院天津300071E-mail::wantflying1999@yahoo.com.cn摘要：首先将风险引入矩阵对策，然后建立风险模型，对最优混合策略优中选优进行研究和实证分析。关键词：矩阵对策；风险；支付；混合策略［中图分类号］［文献标识码］A［文章编号］在人类社会活动中，存在许多双人的竞争行为，在该竞争行为中，两人的支付之和为零,并且两人的策略有限，例如田忌赛马等，这些博弈我们称Z为二人有限策略式零和博弈。在二人有限策略式零和博弈屮，人们常釆用矩阵对策来描述和分析，以求得到最优策略。
2、学者已经证明在二人有限策略式零和博弈中，一定存在纳什均衡，也就是说，要么存在最优纯策略，要么存在最优混合策略。当然在很多情况下，最优策略往往不止一个，那么在存在多个最优策略的情况下,我们能否优中选优？针对这一问题，本文将风险这一概念引入矩阵对策,对最优策略优中选优进行研处。—、符号约定I、II分别代表矩阵对策中的局中人I、局中人II,矩阵对策为G=｛I,II,S,,52M｝，其屮S严｛勺卫2，・・・佥｝込二｛勺，仇，…如分别为局屮人I、II的纯策略集,A=(知:U,为局中人I的支付矩阵，那么局中人II的支付矩阵为-A,记S：=｛xwEm兀.no,j=l,2,…加,£兀・=1｝(1)S
3、；En>0,j=1,2,•••/?,=1(2)则S；,S；分别称为局中人1、II的混合策略集(或策略集)；分别称为局中人I、II的混合策略，(x,y)称为一个混合局势，在该混合局势小，局小人I的支付期望为：Egy)=*Av=工为；・•『Jmaxv如果矩阵对策存在最优纯策略(d,b),那么相当于局中人1以概率1选择策略d,局中人11以概率1选择策略b,也可以把它看作一个混合策略。因此，在此矩阵对策中，设局中人I、II的最优混合策略集分别为：xe&'，弓(3)m［收稿日期］2007-8-1基金项目：湖南省白科基金项目(05JJ40103)湖南省社科基金项目(05YB95)［作者简介］尹向
4、飞(1974—),男，湖南邵阳人，博士生，研究方向：博弈论，金融数学与金融工程$[水minv1丁Str,=yeS.汀人』，勺=(1,1,…1)丁(4)rtl于至少存在一个最优解，所以Slr；$(j)、Str；壬©，设S/zf中的最优解所对应的目标函数值为v*,根据矩阵对策的相关理论可以得出Sr/中的最优解所对应的冃标函数值也为Y,其中『为常数。二、模型的建立与求解假设1：局中人I、II是理性的，也就是说，局中人I、II在选择混合策略时，只从各自的最优混合策略集屮选取，同时知道对方的最优混合策略集以及对方将从其本身最优混合策略集中选収混合策略。如果最优混合策略集中元素不止一个时，局中
5、人I、II应该选择哪个策略更好？我们知道，在矩阵对策小，局屮人I、II直接进行博弈时，最终选择的还是纯策略，混合局势(x,y)只不过定义在各自纯策略集合上的一个概率，就是以不同的概率来选择纯策略，因此局中人I、II每进行一次博弈，各自得到的支付往往是不同的，局中人I、II各自得到的支付是一个随机变量，该随机变量取相应值的概率直接由混合局势(七刃决定，即由概率分布x和y确定。而『只不过是满足(3)中所示集合中某一混合策略的支付的期望值，实际上某一实际博弈局屮人I的支付可能远远高于h,也可能远远低于h,对局屮人II也同样如此。既然局中人I、II各自得到的支付为一个随机变量，我们就可以定义
6、该随机变量的方差。在金融研究中，我们常常用方差作为风险的度量，而矩阵对策中局中人的支付由混合局势(兀y)确定，因此我们用局中人的支付的方差来度量混合局势(兀，刃的风险。由于局中人I、II得到的支付互为相反数，因此只要考虑其中一个就可以。定义1对于某一矩阵对策G={I,II,S
7、,S?,A},S/zf与S加分别为局中人I、II的最优策略集，则当局中人I、II从Sf彳与S/Q选择策略构成混合局势(x,y)时，局屮人I的支付的方差成为混合局势(x,y)的风险，记为＜r2(x,y)o显然有(y2(x,y)=xTBy-(xTAy)2=xTBy—v*(5)其中，B诟)，a2(x,y)为局中人I的
8、支付的方差，又是局中人II的支付的相反数(即Jfmxn为局中人I的支付)的方差，即局中人II的支付的方差，因此cr2(x,y)为局中人I、II共同血临的风险。假设2：除了假设1以及每个局中人都是风险厌恶者以外，每个局中人不知道其他任何信息。由于每个局中人都在各自的最优混合策略集中选取混合策略，因此各自支付的期望一定，那么两人都选择使混合局势(x,y)的风险尽可能小的组合。但是由于假设2的存在，使混合局势(x,刃的风险最小几乎不可能(除非Str；^Str；
