方法3.6 数形结合法（讲）-2017年高考数学（理）二轮复习讲练测（解析版）

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1、数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2017年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．【数形结合思想概述】1

2、．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质

3、只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；[来源:学§科§网]（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函

4、数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．4名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）

5、用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．【数形结合思想解决的问题类型】一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；例1.【2016年高考北京理数】设函数.①若，则的最大值为______________；②若无最大值，则实数的取值范围是________.【答案】，.名师解读，权威剖

6、析，独家奉献，打造不一样的高考！例2.【2015高考新课标1】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（）[来源:Zxxk.Com](A)[-，1）(B)[-，）(C)[，）(D)[，1）【答案】D二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；例3.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【答案】三、构建函数

7、模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；例4.【2015高考安徽】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A），，（B），，（C），，（D），，【答案】C【解析】由及图象可知，，，则；当时，，所以；当，，所以，所以.故，，，选C.学科网四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！例5.【2016高考江苏卷】已知实数满足，则的取值范围是.【答案】【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为.例6.【河北省冀州中学20

8、17届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】如图，是边长为的正三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是_________.【答案】[来源:学科网ZXXK]取最小值，且这个最小值为，故的最大值为，最小值为．即的取值范围是