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1、新课标高中一轮总复习第七单元计算原理、概率与统计第53讲离散型随机变量的分布列、期望与方差1.了解离散型随机变量的意义.2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值与方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值和方差.1.①某路口一天经过的机动车的车辆数为a;②一天内的温度为a;③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为a;④某投篮手在一次训练中，投中球的个数为a.上述问题中a是离散型随机变量的是()CA.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④2.设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,3，则c=.由P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ
2、=2)+P(ξ=3)=1，得c+++=1，故c=.3.已知ξ～B(n,p),Eξ=8,Dξ=1.6，则n与p的值分别是()DA.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.84.投掷一颗骰子所得点数为ξ,则Dξ=.因为P(ξ=i)=,i=1,2,3,4,5,6,得Eξ=3.5,故Dξ=.5.设随机变量ξ的分布列为：则E(5ξ+4)=.ξ124P0.40.30.315E(5ξ+4)=5·Eξ+4=5(1×0.4+2×0.3+4×0.3)+4=15.1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做①，随机变量常用字母X,Y,ξ，η等表示.(1)②叫做
3、离散型随机变量.(2)如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做③.(3)若ξ是随机变量，η=aξ+b,其中a、b是常数，则η也是随机变量.随机变量所有取值可以一一列出的随机变量连续型随机变量2.离散型随机变量的概率分布列(1)概率分布列(分布列)：设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,….ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ=xi)=pi，则表称为④，简称ξ的分布列.ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…随机变量ξ的概率分布列(2)二项分布：如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=pk·qn
4、-k,其中k=0,1,2,…,n,q=1-p，我们称这样的随机变量ξ服从⑤,记作ξ～B(n,p)，其中n,p为参数，并称p为成功概率.(3)两点分布：若随机变量X的分布列是,像这样的分布列称为两点分布列.如果随机变量的分布列为⑥,就称ξ服从两点分布,且称p=P(x=1)为成功概率.二项分布X01P1-PP两点分布列(4)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有ξ件次品，则事件｛ξ=k｝发生的概率为P(ξ=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N，M≤N，n,M,N∈N*.称分布列为⑦.如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何
5、分布.ξ01…MP…超几何分布列3.离散型随机变量的分布列的性质⑧.4.离散型随机变量的均值若离散型随机变量ξ的分布列为：则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为⑨..离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.Pi≥0,P1+P2+…+Pi+…=1(i=1,2,3,…)ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…随机变量ξ的均值或数学期望5.离散型随机变量的方差称Dξ=(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…为随机变量ξ的方差，其算术平方根Dξ为随机变量ξ的⑩,记作σξ.离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平均波动大小
6、（即ξ取值的稳定性）.标准差6.性质(1)E(c)=c,E(aξ+b)=(a、b、c为常数);(2)设a、b为常数,则D(aξ+b)=(a、b为常数);(3)Dξ=;(4)若ξ服从二项分布，即ξ～B(n,p),则Eξ=,Dξ=;(5)若ξ服从两点分布,则Eξ=,Dξ=.11a·Eξ+b13a2·Dξ1412E(ξ2)-(Eξ)215npnp(1-p)1617pp(1-p)题型一求随机变量的分布列例1一批零件有9个合格品，3个不合格品，安装机器时，从中任取一个，若取出不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.设随机变量ξ表示在取得合格品以前已取出的不合格品数，则ξ=0
7、,1,2,3,可得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=×=,P(ξ=2)=××=,P(ξ=3)=1---=,故ξ的分布列为：ξ0123P运用分布列中的性质P1+P2+P3+P4=1,可以简化运算过程.袋中有3个白球，3个红球和5个黄球，从中抽取3个球，若取得一个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黄球得0分，求所得分数ξ的概率分布列.由题意得ξ=-3,-2,-1,0,1,2,3,又P(ξ=-3)==,P(ξ=-2)==,P
