离散型随机变量的分布列、期望、方差-复习指导.doc

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1、离散型随机变量的分布列、期望、方差复习指导　　学习要求：了解随机变量，离散型随机变量的意义，会求简单的离散型随机变量，掌握离散型随机变量的分布列，会求出期望、方差。　　知识总结：　　一、离散型随机变量的分布列　　1.随机变量：如果一个随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，可以按一定次序列出的随机变量叫做离散型随机变量，常用ξ，等希腊字母表示　　2.离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量ξ的一切可能取值为：a1,a2,……,an,……,相应取这些值的概率为：p1，P2，……,Pn,……，

2、则称下表：　　　　为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列。　　离散型随机变量的分布列具有的两个性质：①Pi0(i=1,2,……,n,……)　②P1+P2+……+Pn+……=1　　一种典型的离散型随机变量的分布列：　二项分布：设重复独立地进行n次随机试验A，在每一次试验中，P(A)=P(0

3、……+=[P+(1-P)]n=1。　　二、离散型随机变量的期望与方差　　1．期望：设离散型随机变量ξ的分布列是：ξa1a2……an……pp1p2……pn……称a1p1+a2p2+……+anpn+……为ξ的数学期望，简称期望，记作Eξ。　　期望的性质：①若=aξ+b(a,b均为常数),则E=aEξ+b。②E(ξ1+ξ2)=Eξ1+Eξ2。③若ξ～B(n,p),则Eξ=np　　注：期望Eξ是反映随机变量ξ集中趋势的指标，也反映了ξ取值的平均水平。　　2．方差:设离散型随机变量ξ的分布列是ξa1a2……an……pp

4、1p2……pn……称(a1-Eξ)2p1+(a2-Eξ)2p2+……+(an-Eξ)2pn+……为随机变量ξ的均方差，简称方差，记作Dξ。　　称为随机变量ξ的标准差，记作。　　方差的性质：　　①D(aξ+b)=a2Dξ　　②若ξ～B(n,p),则Dξ=np(1-p)　　注：方差与标准差都反映了ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。　　3.期望与方差的关系：Dξ=E(ξ)2_(Eξ)2例题选讲：　　例1．设离散型随机变量ξ的分布列为：ξ01234P　　分别求2ξ+1，

5、ξ-1

6、的分布列。　　解：2ξ+1的分

7、布列为：2ξ+113579P　　

8、ξ-1

9、的分布列为：

10、ξ-1

11、0123P　　注：ξ取不同的值时，y=f(ξ)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(ξ)=成立的ξ1，ξ2，……，ξp等值，则p()=p(f(ξ))=p(ξ1)+p(ξ2)+……+p(ξp)　　例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。　　解：由题意，得到的次品数ξ～B(2,5%)。P(ξ=0)=(95%)2=0.9025,P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095　　P(ξ=2)

12、=(5%)2=0.0025因此，次品数ξ的概率分布为：ξ012P0.90250.0950.0025　　注：一批产品可以认为数量较大，从中任意地连续取出2件，相当于2次独立重复试验，得到的次品数ξ服从二项分布。　　例3．设ξ的分布列为p(ξ=k)=,(k=0,1,2,……,10)，求：（1）a；（2）p(ξ≤2)；（3）p(9<ξ<20)。　　解：（1）根据分布列的性质：p(ξ=0)+p(ξ=1)+……+p(ξ=10)=1。　　即a(1+)=1　　a=。　　(2)P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ

13、=2)=。　　(3)P(9<ξ<20)=p(ξ=10)=。　　注：分布列可有如下几种表示形式:　　①表格，②一组等式（ξ的所有取值的概率）,③对②进行简化表示，如本例题给出的形式。　　例4．一批零件中有九个合格品，三个次品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ的分布列。　　解：由题意知ξ可取0，1，2，3，则P(ξ=0)=,　P(ξ=1)=　　P(ξ=2)=。　　P(ξ=3)=。　　所以ξ的分布列如下：ξ0123P　　说明：ξ=0表示在取得合格品之前取得

14、0个次品，确切的意义为取得的第一个零件就是合格品。解此类题的一般性原则是：上一次试验若取到一个废品，则下一次试验时，总数和废品数量都应减少一个；当取完全部废品后，下一次试验必取到合格品。　　例5．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下：ξ-101P1-2qq2　　求Eξ、Dξ。　　解：根据离散型随机变量的分布列的性质，有：　　，q=1-。　　所以ξ的分布列为ξ-101P-1∴Eξ=(-1)×+0×(