留数定理及其在积分中的运用【精选】

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1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文留数定理及其在积分中的运用(ResiduetheoremandtheuseintheCalculus)姓名：刘燕学号：0507010122学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：易才凤（教授）完成时间：2009年*月*日留数定理及其在积分中的应用【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容一留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分

2、技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学屮积分的计算问题.【关键词】解析孤立奇点留数留数定理ResiduetheoremandtheuseintheCalculus[Abstract!Thispaper,wefirstintroducethepriorknowledgeofcomplexfunctionCalculus,andintroducethemethodofcalculatingtheresidue,etc.Onthisbasis,Wedescribedandprovedt

3、hemaincontentsofthisarticle—theResiduetheorem,andthepromotionoftheResiduetheorem.Thispaperdiscussedthecalculatingproblemsofintgralinanalysiswiththetheoremofresidue,gotthegeneralcomputatingmethodandformulabyusinganalysicalskills,andthenmadeiteasiertores

4、olvethecalculatingproblems.IKeywordsJAnalysisIsolatedsingularpointResidueResiduetheorem目录1引言2预备知识2.1复积分2.2解析函数极点及留数2.3留数的计算方法3留数定理3.1留数定理3.2留数定理的证明3.3留数定理的推广4应用留数定理计算积分4.1复积分的计算4.2实积分的计算5参考文献6致谢1引言众所周知,在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分屮被积函数的原函数，有吋不能用初

5、等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而11繁琐•因此需要寻求新的计算方法•例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方而的重要工具.在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法.其基本思想是：为了求实函数/⑴在实数轴上的某一段「上的积分，我们在厂上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C,从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决.留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出

6、的洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论屮的重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中冇重要的应用，特别是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.那么留数定理能不能计算岀所冇的积分呢？答案是否定的•留数定理在积分中的应用也具有一定的局限性•通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可以更好的理解这一重要定理一节它在积分屮的应用.此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布

7、情况等.2预备知识2.1复积分复变函数积分的定义定义2.1设冇向曲线C：z=z(r),(cz

8、,…=b把曲线C分成若干个弧段(如图1)。从S-到°伙=1,2,…/7)的每一弧段上任取一点<.做和数*=]其屮=二仝-Z归•当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零吋，如果和数S”的极限存在且等于J,则称/⑵沿C(从Q到b)可积，而称J为/⑵沿C(从d到b)的积分，并以记号J/⑵dz表示:C称为积分路径.jy(z)dz表示沿C的止方向的积分，Jf(z)dz表示沿C负方向的积分.如

9、果J存在，我们一般不能把J写成f/⑵dz的形式，因为J的值不仅和a,b有关，而且与积分路径C有关.显然，/(z)沿曲线C可积的必要条件为/(z)沿C有界.此外，，我们还有下面可积的充分条件和计算复积分的一种表达式.定理2・1⑴若函数f(x)=u(x9y)+iv(x,y)沿曲线C连续,则/•⑵沿C可积,(z)dz=^iidx一vdy+i^vdx+udy这个定理说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实，虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题•除此Z外，复积分的计算方法还有