留数定理计算积分.ppt

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1、复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第二节用留数计算定积分1留数定理的应用--积分的计算:（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；2思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积

2、分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条形如3当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.注:4例1解故积分有意义.56因此7注:此时例2计算积分解则89由留数定理例3计算解10由留数定理11注:例4计算积分解1213在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.141引理6.1证明因为于是有15于是有162定理6.717证明由条件(1),(2)及数学分析的结论,知x

3、..根据留数定理得:18或写成因为19解例52021解例62223引理6.2xy..24证明于是就有于是由Jordan不等式25将(6.13)化为应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得262定理6.8则有注:将(6.14)分开实虚部,就可得到形如的积分.27证明x..根据留数定理得:28或写成因为29例7计算积分解且在上半平面只有二级极点30注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇点.31四计算积分路径上有奇点的积分引理6.3证明因为于是有32于是有33例8计算积分解即34由引理6.2知由引理6.3知35解五杂例

4、例9它是一个整函数,则36而37比较两端实部与虚部即得弗莱聂尔(frensnel)积分即38本节结束谢谢！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics39