用留数定理计算实积分.ppt

《用留数定理计算实积分.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章留数理论及应用第6.2节用留数定计算实积分留数定理的应用--积分的计算:在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如留数定理的应用--积分的计算:（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。

2、利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；例1、例1、计算积分其中常数a>1。解：令而且当t从0增加到解：令，那么时，z按反时针方向绕圆C:

3、z

4、=1一周。例1、因此于是应用留数定理，只需计算在

5、z

6、<1内极点处的留数，就可求出I。上面的被积函数有两个极点：显然例1、因此被积函数在

7、z

8、<1内只有一个极点z1，而它在这点的留数是：于是求得注解：注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C

9、:

10、z

11、=1上，分母不等于零。例2：例2、计算积分解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。考虑函数这个函数有两个二阶极点，在上半平面上的一个是z=i。作以O为心、r为半径的圆盘。例2：考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为Cr。取r>1，那么z=i包含在Cr的内区域内。沿Cr取其中其中表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。的积分，得例2：现在估计积分我们有因此令，就得到从而注解：注解1、我们计算所得的值这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。注解2、

12、应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。引理6.1：引理3.1设f(z)是闭区域上连续的复变函数，并且设那么我们有是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段如果当z在这闭区域上时，引理6.1：证明：设M(r)是f(z)在因为当证明：设M(r)是f(z)在上的最大值，则有因为当时，引理6.1：所以又因为又因为所以，例3：例3、计算积分解：取r>0，则有函数函数在函数在去有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析。取积分区域如

13、图，而只要取r>1。于是我们有例3：于是我们有其中其中表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。例3：现在应用引理3.1，取那么在这引理中所设各条件显然成立。因此，令从而可见积分I收敛，并且因此，令，就得到注解：注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中f(x)在注解2、同样，上面求出的广义积分也是其柯西主值。上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在上时，引理中的条件满足。说明：如果函数f(x)在上上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可

14、以计算某些广义积分，同样，所求出的广义积分（无限积分与瑕积分）也是其柯西主值，如下面的例子。函数只是在z=0有一个一阶极点。例4：例4、计算积分解：取函数解：取，使解：取，使，我们有例4：作积分路径如下图。在上半平面上作以原点为心、于是我们有在这里沿现在求当为半径的半圆的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的。现在求当趋近于0时，现在求当趋近于0时，的极限。例4：由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，

15、f(z)

16、有上界当其中h(z)是在z=0的解析函数。因此于是当当时于是当充分小时例4：从而令令，应用引理3.

17、1，可以得到所求积分收敛，并且留数定理的应用--儒歇定理:应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。儒歇定理（定理6.2）设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。设函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域上解析，并且在C上，

18、f(z)

19、<

20、g(z)

21、，那么在D上，f(z)及f(z)+g(z)的零点的个数相同。注解：注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。注解2、f(z)及g(z)选择的

22、原则是，f(z)在内的零点个数好计算。例1:例1、  求方程在

23、z

24、<1内根的个数。解：令由于当

25、z

26、=1时，我们有而已给方程在

27、z

28、<1内根的个数与-z5+1在

29、z

30、<1内根的个数相同，即5个。例2:例2、  如果a>e，求证方程单位圆内有n个根。证明：令由于当azn-ez在

31、z

32、<1内的零点的个数与azn相同，即