资源描述：
《第二节 用 留数定理计算实积分 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、§2.用留数定理计算实积分一、教学目标或要求：真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法重点：用留数定理计算实积分的方法难点：定理的应用三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4－7§2.用留数定理计算实积分留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分.如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分.在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复
2、杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样 左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体介绍几个类型的实变定积分.1.计算型积分令，则与均可用复变量表示出来，从而实现将变形为复变量的
3、函数的愿望，此时有同时，由于，所以，且当由变到时，恰好在圆周上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。至此，有于是，计算积分的方法找到了，只需令即可。例求。解当时，；当时，令， 当时，在内，仅以为一级极点，在上无奇点，故由留数定理 当时,在内仅以为一级极点,在上无奇点， 例计算积分.解：令得： 先求的奇点及其留数.令其分母为零得： 这就是的两个单极点.单极点的模为： 所以极点在单位圆内.而单极点的模为: 所以在单位圆外，在极点处.
4、 此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分：之值.为此，在前例中，用代得： 两也对a求导得： 令a=1得，即： 例求。解为偶函数，故，令，则 在内部仅有为一级极点， ，故，比较实部得，故。例计算积分.解：若直接作变换，则积分复杂，若先考虑积分: 作变换：，则: 因为的阶极点.所以： 故： 比较两边的实部和虚部得：。1．计算型积分由于，考虑添加辅助曲线与实轴上是区间构成围
5、线，则 ，其中为落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出的值，再取极限即得。引理6.1设在圆弧充分大)上连续,且在上一致成立(即与中的无关)，则。证，由于在上一致成立，故 ， 定理6.7设为有理分式，其中，为互质多项式,且（1）；（2）在实轴上，则。证由,,存在,且 。作,与线段一起构成围线,取足够大，使的内部包含在上半平面内的一切孤立奇 点,由在实轴上知,在上没有奇点,由留数定理得，又。由于 当时,，由引理6.1， ，于是。例 设，计算解：为偶函数，所以 函数的奇点为
6、 故在上半平面的奇点为：，而： 例计算积分。解经验证，此积分可用（7.11）式计算．首先，求出在上半平面的全部奇点．令即于是，在上半平面的全部奇点只有两个：与且知道，与均为的一级极点．其次，算留数，有最后，将所得留数代入（7.11）式得.3积分的计算引理6.2(Jordan)设在半圆周充分大)上连续,且在上一致成立，则。证，由于在上一致成立，故, Jordan不等式。由于， 故，于是。定理6.8设,其中及为互质多项式,且（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3），则，特别地分开实、虚部就
7、可以得到 与的积分。证 略。例计算积分 。解：为偶函数，有两个单极点，其中在上半平面，其留数为： 例计算积分．解经验证，该积分可用（6.14）式计算．首先，求出辅助函数在上半平面的全部奇点．由解得与为的奇点，而，所以，在上半平面只有一个奇点 ， 且为的一级极点．其次，计算留数．有最后，由（6.14）式得。例计算积分解若令则，即的实部为。因此，为了计算，只需求出积分即可，而该积分可用（6.11）式计算。为用（6.11）式，先求出辅助函数在上半平面的奇点只有点
8、（另一个奇点为），于是，由（6.14）式得而故从而有于是即这里要指出的是，由所求积分的特征，计算所给积分也可直接利用（6.14）式进行。复变函数论课程教案授课题目（教学章节或主题）：第二节续授课类型 理论课授课时间第15周第1－2节教学目标或要求：掌握积分路径上有奇点的积分的计算典型例题
