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1、使用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法重点：用留数定理计算实积分的方法难点：定理的应用二：教学目标或要求：真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7用留数定理计算实积分留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分.如，在研究阻尼振动时计算积分在热学中将遇到积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分(.，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂
2、.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来.把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分间的积分区可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样左端可应用留数定理，如果介绍几个类型的实变定积分.一计算?2π容易求出，则问题就解决了，下面具体R(cos?,sin?)d?型积分令z?ei?，则cos?与sin?均可用复变量z表示出来
3、，从而实现将R(cos?,sin?)变形为复变量zz?12z2的函数的愿望，此时有z?12iz2cos??,sin??同时，由于z?ei?，所以z?1，且当?由0变到2π时，z恰好在圆周c:z?1上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。至此，有?2π0z?1z?11R(cos?,sin?)d???R(,)?dz2z2izizz?12π022于是，计算积分?R(cos?,sin?)d?的方法找到了，只需令z?ei?即可。例求解当时，；当。时，令，当在时，在内，仅以为一级极点，上无奇点，故由留数定理当时,在内仅以为一级极点,在上无奇点
4、，例计算积分.解：令得：先求令其分母为零得：的奇点及其留数.这就是单极点的两个单极点.的模为：所以极点在单位圆内.而单极点的模为:所以在单位圆外，在极点处.此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分：之值.为此，在前例中，用代得：两也对a求导得：令a=1得，即：例求。解为偶函数，故，令，则在内部仅有为一级极点，，故，比较实部得。例计算积分.解：若直接作变换，则积分复杂，若先考虑积分:故，作变换：，则:因为所以：的阶极点.故：比较两边的实部和虚部得：一计算???。P(x)Q(x)型积分??由于是区间构成围线，考虑添加辅助曲线
5、，则与实轴上，其中为落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出的值，再取极限即得。引理6.1设在在圆弧上一致成立(即与。证，由于在上一致成立，故充分大)上连续,且中的无关)，则，定理6.7设为有理分式，其中，为互质，多项式,且（1）；（2）在实轴上则。证由,。作,,与线段存在,且一起构成围线,取足够大，使的内部包含在在上半平面内的一切孤立奇上没有奇点,由留数定理得点,由在实轴上知,，又由于。当时,，由引理6.1，，于是。例设，计算解：函数为偶函数，所以的奇点为，故在上半平面的奇点为：而：例计算积分?????4x22x?x?1dx。解经验
6、证，此积分可用（7.11）式计算．首先，求出上半平面的全部奇点．令P(z)Q(z)?z422z?z?1在z?z?1?0即z?z?1?(z?2z?1)?z?(z?1)?z42424222222?(z?z?1)(z?z?1)?02于是，P(z)Q(z)32在上半平面的全部奇点只有两个：??12?i与???12?32i且知道，?与?均为P(z)Q(z)的一级极点．其次，算留数，有Res(P(z)Q(z)P(z)Q(z),?)?lim(z??)z??z2(z??)(z??)(z??)(z??)z2?1?3i43i1?3iRes(,?)?lim(
7、z??)z??(z??)(z??)(z??)(z??)?43i最后，将所得留数代入（7.11）式得?????4x22x?x?1dx?2πi[Res(P(z)Q(z),?)?Res(P(z)Q(z),?)]?π3.二积分的计算引理6.2(Jordan)设在证在半圆周充分大)上连续,且。上一致成立，故上一致成立，则在，由于,Jordan不等式。由于，故，于是。定理6.8设比,其中及为互质多项式,且（1）；（3），的次数的次数高；（2）在实轴上则，特别地分开实、虚部就可以得到证略。例计算积分与的积分。。解：为偶函数，有两个单极点，其中在上半平
8、面，其留数为：例计算积分?????2eix2x?adx,a?0．解经验证，该积分可用（6.14）式计算．首先，求出辅助函数f(z)?e2iz2z?a在上半平面的全部奇点．由z2?a2?0解得z?ai与z??
