用留数定理计算实积分.pdf

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1、用留数定理计算实积分121、R(()cos,sin)d型积分0定理设RR(cos,sin)为cos,sin的有理函数，且在[0,2]上连续，则2dzRg(cos,sin)d()z．01ziz11zzzz其中gzR()(,)．22i2i【证明】若令ze,则ii1eezzcos22ii1eezzsin2i2iididizezdi并且由变换ze知，当从0变到2π时，z恰好沿单位圆周C：z1的正向绕一周，所以有112zzzz10Rd(cos,sin)CR

2、(,)dz.22iiz3gz()当有理函数fz()在圆周C：z1的内部有n个iz孤立奇点z(1kn,2,,)时，则由留数定理有kn2πR(cos,sin)d2πiRes[()fzz,]k0k1izizizizeeeeR(,)gz()22if()ziizz42πd例5105.10求I的值.02cosi【解】若令ze,则有:112dziIdzdzzzz111zz11zzizz241z2222易知在单位圆内被积函数只有一个一阶极点z23，且13z23Res,23

3、lim.22zz41z23zz4162π123所以有Ri(cos,sin)d2dz.01zzz241352.f()dxx型积分i引理设f()z沿圆弧SzR:e上连续，R12且limzfz在S上一致成立，则RRlimfzdzi21RSRdzi证明：因为i21S，于是SzRR:e12上连续，且Rzzfzfzdzidz。21SSRRz由条件limzfz在S上一致成立，知对于任给的0，存在R，

4、使当R0RRR时，有zfzz,S。于是有0R21zffRzR21dz.证毕。S6RzR21Pz()定理设fz()为有理函数，其中PzQz()()(),()为互质Qz()多项式，并且(()i)分母Q()z的次数至少比Pz()的次数高两次；(ii)Qz()在实轴上没有零点；则有fxdx2RiesfzkImzk0Px()特别地，若对应实函数fx()为偶函数，则Q()xfxdx()iRes()fzk0Imzk0(证明参见P110)72x例5.11计算Ixd(00d(0a,b

5、0))的值.()xaxb2222()2z【解】fz()的分母多项式次数高于分2222()zazb()子多项式次数两次，它在上半平面内有两个单极点zai,1zbi，所以有：2Iif2[Res()Res()]aifbiab2i22222ia()()()b2iba().dx1xab22arctanxaaa81例5.12计算Ixd的值.0x411【解】f()z的分母多项式次数高于分子多项式次4z1数四次，且为偶函数，它在上半平面内有两个单极点3iizeze44,，所以123iiIi[R

6、es(fe44)Res(fe)]3911iiii()e44e39ii444ee442Pz()Pz()0Res(,z)04QQQ()zQ'()z9定理设(i)f()z在区域y0除去有限个极点a外，处处k解析，且a不在实轴上，(ii)沿上半圆周（R充分大），kRlimzfz0一致成立，则当f()x为偶函数时，有Rnf()cosxmxdxiFResak，0k1当f()x为奇函数时，有nf()sinxmxdxResFak0k1imz其中F()zf()ze,0m

7、。10cosx例5.13计算Ixd(0)a的值.0xa221【解】因为被积函数为偶函数，且fx，所以有22xaIiFaResi，izeeizae其中Fz22。容易得到：ResFaizai,zazai2aia因而：Ie.2a11定理fz在实轴上有有限个一阶极点aj1,2,,m,j在上半平面有有限个孤立奇点bk1,2,,n.而且,在k包括实轴的上半平面中当z时zfz一致趋于零,则nm有fxdx2ires