留数定理与几类积分的计算

《留数定理与几类积分的计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、留数定理与几类积分的计算中文摘要本文主要总结几类可用留数定理计算的积分的特征并给出对应的用留数定理算积分的步骤以及可行性说明。其中类型3是对文献1中给出的结论的推广，类型3中的引理2是笔者对文献1的一道习题的推广并给出了证明。接着笔者补充了参考文献2中多值函数积分部分4个引理的证明并给出相应的应用例子，类型7笔者根据个人理解将分成瑕积分和黎曼积分两类给出计算方法。关键词：留数定理，积分计算，单值函数，多值函数……正文（一）单值函数类型1：形如的实积分，其中是有理函数，并且在圆周上分母不为零。解决技巧：令，将实积分转化为单位圆周上的复积分。由

2、可得：①其中，是在单位圆周内的所有孤立奇点，在单位闭圆盘除去外的其他点都解析。例子：类型2：形如的实反常积分，其中是有理函数，在实轴上分母不为零，并且分母的次数至少比分子次数高2。计算公式为（其中为R(z)在上半平面的所有孤立奇点，R(z）在上半平面除去这些点外的其他点解析）第12页解决技巧：围道积分法。添加圆弧将实反常积分转化到计算留数和半径趋向于无穷的圆弧积分，其中取逆时针方向。如图所示：图1可行性分析：由留数定理可得当时，有②于是只要圆弧积分在半径趋于无穷时存在极限则可以算出原反常积分。要求分母的次数至少比分子次数高2可使得半径趋向于

3、无穷的圆弧积分为零。证明：，由于分母次数至少比分子次数高2，因而必有，证得。令可得例子：类型3：形如的积分，其中在上可能有有限个孤立奇点外，在其余点解析，而且，在实轴上的孤立奇点只能是可去奇点或者一阶极点。从对于类型2的可行性分析可知留数定理计算反常积分的可行性关键在于圆弧积分当半径趋于无穷时的极限好算，最好是为零。为了用留数定理解决类型3的积分需用Jordan引理。引理1（Jordan引理）:若函数在上连续，且，则对任意正的常数，都有，其中用此引理可知满足引理要求的与第12页的乘积做被积函数的圆弧积分当半径趋于无穷时极限为零，可用留数定理

4、计算反常积分。类型3.1形如的积分，其中在上半平面上可能有有限个孤立奇点外,分母在实轴上没有零点，在其余点解析，而且解决技巧：围道积分法。与类型2的解决技巧相同。计算公式及推导：若在上半平面除去等所有孤立奇点外连续，在连续，且，则可得，分离实部和虚部可得：③④例子：类型3要求分母在实轴上不为零，此时我们会提出疑问——如果被积函数在实轴上有有限个点使得分母为零，此时能否使用留数定理？为简单起见，只讨论这些实值均是f(x)的一阶极点的情况。解决技巧：采用选取合适的积分闭路绕过奇点。如图2所示：图2可行性分析：由留数定理可得：第12页由此式我们可

5、知计算关键在于小圆弧积分当r趋于零时是否容易求极限。直观判断：时，可用替代，近似于。由于z=0只是一阶极点，可存在，用其替代分子的位置。。猜想，证明两者相等的方法是作差，然后对作差结果的模进行合适放大来说明模必定为零。文献2对以上猜想的一般化是下面的引理2，此处略去证明。引理2：函数在区域D：上连续，且则（）含实值一阶极点的类型3积分计算公式：其中是在实轴上的所有一阶极点且除此之外无其他奇点。⑤证明：不妨设在实轴上只有两个一阶极点，取积分闭路,其中分别以为中心，以r为半径的半圆周，取顺时针方向。（r足够小，保证两半圆周无交）由留数定理可得：

6、+由Jordan引理得，由引理2得=令可得=第12页最后用归纳法可证得f(z)有个实值一阶奇点时⑤成立。例子：（二）多值函数类型4：形如的反常积分，在上除去外解析，这些点均不在包括原点的正实轴上，是的m阶零点（）解决技巧：做积分闭路C(R,r)如图3所示：图3可行性分析：利用多值函数在正实轴下沿是上沿的取值乘上一个不为1的常数，用留数定理可得,将转换到大圆弧积分，小圆弧积分和留数的计算。引理3：若单值函数在上除去外解析，这些点均不在包括原点的正实轴上，是f(z)的m阶零点（）则有（在正实轴上取实值的一个单值解析分支内算留数）证明：考虑多值函

7、数。在复平面上取正实轴作为割线，得一区域，再去掉后得到的区域D内可以分解成单值解析分支。取在割线上沿取实值的分支，记为，做积分闭路如图3所示，其中R足够大，使得均在的内区域。以原点为圆心，r为半径。在实轴下沿，第12页，因为在实轴上沿要取实值，可取k=0。在下沿有。由留数定理可得⑥先计算。,因为是f(z)的m零点（），故存在常数c,当R足够大时有,此时有;得再计算。由在z=0处解析得存在使得在原点的某一领域内，故可得。由得。令可得：例子：类型5:形如的积分。若单值函数在上除去外解析，这些点均不在包括原点的正实轴上，此外是的m阶零点，。解决技

8、巧：所做的积分闭路与类型4一样。考虑多值函数，因为我们无法得到的等式，可以保证不被抵消而得到便于计算的等式。引理4：若函数满足类型5的要求，则有证明：考虑多值函数第12页，在复平