极限 定义证明范文

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1、极限定义证明范文　　趋近于正无穷根号x分之sinx等于0　　x趋近于负1/22x加1分之1减4x的平方等于2　　这两个用函数极限定义证明?　　x趋近于正无穷根号x分之sinx等于0　　证明：对于任意给定的ξ>0要使不等式　　

2、sinx/√x0

3、=

4、sinx/√x

5、<ξ成立只需要　　

6、sinx/√x

7、^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),则x>sinx^2/ξ^2,　　∵

8、sinx

9、≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立　　所以取X=1/ξ^2当x>X时必有

10、sinx/√x0

11、<ξ成立　　同函数极限的定义可得x→+∞时sinx/√x极

12、限为0.　　x趋近于负1/22x加1分之1减4x的平方等于2　　证明：对于任意给定的ξ>0要使不等式　　

13、14x^2/2x+12

14、=

15、12x2

16、=

17、2x1

18、=

19、2x+1

20、<ξ成立只　　需要0<

21、x+1/2

22、<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<

23、x+1/2

24、<δ时必有　　

25、14x^2/2x+12

26、=

27、2x+1

28、<ξ　　由函数极限的定义可得x→1/2时14x^2/2x+1的极限为2.　　注意用定义证明X走近于某一常数时的极限时关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.　　记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)n趋

29、于正无穷;　　下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷把max{a1,...am}记作a　　不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;　　那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)　　注意到f2的极限小于等于a那么存在N2当x>N2时0<=f2(x)　　同理存在Ni当x>Ni时0<=fi(x)　　取N=max{N1,N2...Nm};　　那么当x>N,有　　(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n　　所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)　　对n取极

30、限所以a/M<=g(x)N时成立;　　令x趋于正无穷　　a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;　　注意这个式子对任意M>1,b>a都成立中间两个极限都是固定的数　　令M趋于正无穷b趋于a;　　有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;　　这表明limg(x)=a;　　证毕;　　证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去　　还有个看起来简单些的方法　　记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)n趋于正无穷;　　g(x)=max{f1(x),....fm(x)};　　然后求极限就能得到limg(x)=m

31、ax{a1,...am}　　其实这个看起来显然但对于求极限能放到括号里面但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多　　有种简单点的方法就是　　max{a,b}=

32、a+b

33、/2+

34、ab

35、/2从而为简单代数式　　多个求max相当于先对f1f2求max再对结果和f3求然后继续从而为有限次代数运算式　　故极限可以放进去　　2　　一)时函数的极限：　　以时和为例引入.　　介绍符号:的意义,的直观意义.　　定义(和.)　　几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.　　例1验证例2验证例3验证证……　　(二)时函数的极限：　　由考虑

36、时的极限引入.　　定义函数极限的“”定义.　　几何意义.　　用定义验证函数极限的基本思路.　　例4验证例5验证例6验证证由=　　为使需有为使需有于是,倘限制,就有　　例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:　　1.定义：单侧极限的定义及记法.　　几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.　　例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:　　Th类似有:例10证明:极限不存在.　　例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有　　=§2函数极限的性质(3学时)　　教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质　　教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局

37、部保号性、不等式性质以及有理运算性等　　教学重点：函数极限的性质及其计算　　教学难点：函数极限性质证明及其应用　　教学方法：讲练结合　　一、组织教学：　　我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.　　二、讲授新课：　　(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.　　1.唯一性:　　2.局部有界性:　　3.局部保号性:　　4.单调性(不等式性质):　　Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使都有证设=(现证对有)　　註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.　　5.迫敛性:　　6.四则运算性质:(只证“+

38、”和“”)　　(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：　　(注意前四个极限中极限就是函数值)　　这些极限可作为公式用.在计算一些