2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修1 -1

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1、2.2.1　双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于

4、F1F2

5、”改为“等于

6、F1F2

7、”或“大于

8、F1F2

9、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若

10、MF1

11、－

12、MF2

13、＝2a(常数)，且2a

14、<

15、F1F2

16、，则点M的轨迹是什么？[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于

17、F1F2

18、时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于

19、F1F2

20、时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F1(0，－c)，F2(c,0)F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2[基础自测]1．思考辨析(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　　)(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若

21、AC

22、－

23、BC

24、＝2

25、，则点C的轨迹是双曲线．(　　)(3)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．双曲线－＝1的焦距为(　　)A．3　　　B．4　　　C．3　　　D．4D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)【导学号：97792079】A.－＝1B.－＝1C.－＝1或－＝1D.－＝0或－＝0C　[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.][合作探究·攻重难]双曲线的定义及应用　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16

26、，求点M到另一个焦点的距离．(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[思路探究]　(1)直接利用定义求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求

27、PF1

28、·

29、PF2

30、.[解]　(1)设

31、MF1

32、＝16，根据双曲线的定义知

33、

34、MF2

35、－16

36、＝6，即

37、MF2

38、－16＝±6.解得

39、MF2

40、＝10或

41、MF2

42、＝22.(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得

43、PF1

44、－

45、PF2

46、＝±6，

47、F1F2

48、2＝

49、PF1

50、2＋

51、PF2

52、2－2

53、PF1

54、

55、PF2

56、cos60°，所以102＝(

57、PF1

58、－

59、PF2

60、)2＋

61、PF1

62、·

63、PF2

64、，所以

65、PF

66、1

67、·

68、PF2

69、＝64，∴S△F1PF2＝

70、PF1

71、·

72、PF2

73、·sin∠F1PF2＝×64×＝16.[规律方法]　求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出

74、

75、PF1

76、－

77、PF2

78、

79、＝2a；②利用余弦定理表示出

80、PF1

81、、

82、PF2

83、、

84、F1F2

85、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出

86、PF1

87、·

88、PF2

89、的值；④利用公式S△PF1F2＝×

90、PF1

91、·

92、PF2

93、sin∠F1PF2求得面积.(2)利用公式S△PF1F2＝×

94、F1F2

95、×

96、yP

97、求得面积.[跟踪训练]1．(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P

98、的轨迹中为双曲线的是(　　)A．

99、PF1

100、－

101、PF2

102、＝±3B．

103、PF1

104、－

105、PF2

106、＝±4C．

107、PF1

108、－

109、PF2

110、＝±5D．

111、PF1

112、2－

113、PF2

114、2＝±4A　[

115、F1F2

116、＝4，根据双曲线的定义知选A.](2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则

117、PF

118、＋

119、PA

120、的最小值为________.【导学号：97792080】9　[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．

121、PF

122、－

123、PF1

124、＝2a＝4，即

125、PF

126、＝

127、PF1

128、＋4，所以

129、PF

130、＋

131、PA

132、＝

133、PF1

134、＋

135、PA

136、＋4≥

137、AF1

138、＋4，当且仅当A，P，F1三点

139、共线时取等号，此时

140、AF1

141、＝＝＝5，所以

142、PF

143、＋

144、PA

145、≥

146、AF1

147、＋4＝9，即

148、PF

149、＋

150、PA

151、的最小值为9.]求双曲线的标准方程　根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A；(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．[思路探究]　(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数