2020年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修1.pdf

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1、2.2.1双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的定义把平面内与两个定点F，F距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、FF

3、)的点的轨迹叫1212做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于

4、FF

5、”改为“等于

6、FF

7、”或“大于

8、FF

9、”的常121212数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲

10、线的定义中，若

11、MF

12、－

13、MF

14、＝2a(常数)，12且2a<

15、FF

16、，则点M的轨迹是什么？12[提示](1)当距离之差的绝对值等于

17、FF

18、时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是12F，F，当距离之差的绝对值大于

19、FF

20、时，动点的轨迹不存在．1212(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上x2y2y2x2标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)a2b2a2b2F(－c,0)，F(0，－c)，11焦点F(c,0)F(0，c)22a，b，c的关系c2＝a2＋b2[基础自测]1．思考辨析(

21、1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若

22、AC

23、－

24、BC

25、＝2，则点C的轨迹是双曲线．()x2y2(3)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()a2b2[答案](1)×(2)×(3)×x2y22．双曲线－＝1的焦距为()102A．32B．42C．33D．43D[c2＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为43.]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()【导学号：97792079】x2y2A.－＝12524y2x2B

26、.－＝12524x2y2y2x2C.－＝1或－＝125242524x2y2y2x2D.－＝0或－＝025242524C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.][合作探究·攻重难]双曲线的定义及应用x2y2若F，F是双曲线－＝1的两个焦点．12916(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离．(2)若点P是双曲线上的一点，且∠FPF＝60°，求△FPF的面积．1212[思路探究](1)直接利用定义求解．(2)在△FPF中利用余弦定理求

27、PF

28、·

29、PF

30、.1212[解](1)设

31、MF

32、＝1

33、6，根据双曲线的定义知

34、

35、MF

36、－16

37、＝6，即

38、MF

39、－16＝±6.122解得

40、MF

41、＝10或

42、MF

43、＝22.22x2y2(2)由－＝1，916得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得

44、PF

45、－

46、PF

47、＝±6，12

48、FF

49、2＝

50、PF

51、2＋

52、PF

53、2－2

54、PF

55、

56、PF

57、cos60°，121212所以102＝(

58、PF

59、－

60、PF

61、)2＋

62、PF

63、·

64、PF

65、，1212所以

66、PF

67、·

68、PF

69、＝64，121∴S△FPF＝

70、PF

71、·

72、PF

73、·sin∠FPF122121213＝×64×＝163.22[规律方法]求双曲线中的焦点三角形△PF

74、F面积的方法12(1)①根据双曲线的定义求出

75、

76、PF

77、－

78、PF

79、

80、＝2a；②利用余弦定理表示出

81、PF

82、、

83、PF

84、、1212

85、FF

86、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出

87、PF

88、·

89、PF

90、的值；④利用12121公式S△PFF＝×

91、PF

92、·

93、PF

94、sin∠FPF求得面积.12212121(2)利用公式S△PFF＝×

95、FF

96、×

97、y

98、求得面积.12212P[跟踪训练]1．(1)已知定点F(－2,0)，F(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲12线的是()A．

99、PF

100、－

101、PF

102、＝±312B．

103、PF

104、－

105、PF

106、

107、＝±412C．

108、PF

109、－

110、PF

111、＝±512D．

112、PF

113、2－

114、PF

115、2＝±412A[

116、FF

117、＝4，根据双曲线的定义知选A.]12x2y2(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支412上的动点，则

118、PF

119、＋

120、PA

121、的最小值为________.【导学号：97792080】9[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F，则F(4,0)．

122、PF

123、－

124、PF

125、＝2a＝4，即111

126、PF

127、＝

128、PF

129、＋4，所以

130、PF

131、＋

132、PA

133、＝

134、PF

135、＋

136、PA

137、＋4≥

138、AF

139、＋4，当且仅当A，P，F三点共1111线时取等

140、号，此时

141、AF

142、＝4－12＋42＝25＝5，所以

143、PF

144、＋

145、PA

146、≥

147、AF

148、＋4＝9，即

149、PF

150、11＋

151、PA

152、的最小值为9.]求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程：410(1)a＝4，经过点A1，－；3x2y2(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过